双曲線関数(対数関数)の微分

双曲線関数(対数関数)の微分
以前、y=sinhaxの逆関数を
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5833543.html
で、質問させていただきました。
そのことで、友達と上記の問題はどうなったと聞いてみると、

y=a/√ax^2+1
と言いました。何だかそこで不安になってしまったので、再び

y=sinh^-1(ax)の微分を教えていただけないでしょうか…

No.2 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/07/19 10:27

(sinh^-1(x))'=√(1+x^2)

を適用すればいいのですが、逆関数の定義に戻って、
次のようにしてもできます。

y=sinh^-1(ax)
から、
sinh(y)=ax
この両辺をxで微分して、
(cosh(y))dy/dx=a
これから、
dy/dx=a/(cosh(y))

ハイパボリック関数の性質から、
(cosh(y))^2-(sinh(y))^2=1
したがって、
cosh(y)=√(1+(sinh(y)))=√(1+(ax)^2)
よって、
dy/dx=a/√(1+(ax)^2)

>y=a/√ax^2+1
>と言いました。何だかそこで不安になってしまったので

式に括弧がないため正しくないのですが、正しくは、
y=a/√((ax)^2+1)
です。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/19 05:31

>y=sinh(ax)の逆関数は

y=(1/a)sinh^-1(x)
です。

この微分は
>http://okwave.jp/qa/q5833543.html

の(2)の
y'= (1/a)/√(x^2+1)
で合っています。

>友達の
>y=a/√(ax^2+1)
は
逆関数
y=(1/a)sinh^-1(x)
の微分ではなく
y=sinh^-1(ax)
の微分です。
なので友達の微分は逆関数の微分ではありません。