好きな数字が並ぶ不思議?

好きな数字が並ぶ不思議?

12345679×9=11111111
12345679×18=22222222
12345679×27=33333333
12345679×36=44444444
12345679×45=55555555
12345679×54=66666666
12345679×63=77777777
12345679×72=88888888
12345679×81=99999999
-------------------------
1～9数字の8の抜けた数に1～9の9倍数を掛けると
何故このように掛ける元数が揃うのでしょうか?
数学的な公式を教えて頂ければありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2010/07/20 14:41

×９、×18、×27、×36…は、×９×１、×９×２、×９×３、×９×４…ですから、答えが111111111、222222222、333333333、444444444…になるのは「当たり前」ですね。

12345679×９×１＝111111111×１＝111111111
12345679×９×２＝111111111×２＝222222222
12345679×９×３＝111111111×３＝333333333
な訳です。

ですから「12345679×９」だけ考えれば良いですね。

で「×９」と言うのは「×（１０－１）」なので「１０倍したのから元の数を引く」のと同じです。

　　123456790　←１０倍
－)　12345679　←元の数
──────

引かれる数の下１桁は「0」ですから、「9」を引くと、上から借りてきて10-9で1。

借りられた「90」は「80」になります。

借りられた結果、引かれる数は「12345678x」になってます（「x」の部分は、上の「借りてきて」で計算済み）

そこから「１桁右にずれた数」つまり「1234567x」を引きます（「x」の部分は、上の「借りてきて」で計算済み）

「１桁右にずれた数を引く」のですから、全部の桁に「ずれた分の1」が残ります。

「全部の桁に１が残る」と、当然「111111111」になります。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
大変参考になり感謝申し上げます。

お礼日時：2010/07/21 06:07

No.4 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/20 15:18

12345679×9=11111111だけが重要です。

あとは2倍3倍・・・とするだけですから同じ数字か並ぶのは当たり前です。

まず重要なことは111111111が9で割り切れるということです。
「各桁を9で割ったときの余りが1で九桁あるから9で割り切れる」と証明できます。
111111111を9で割ってみたら偶然12345679になったと言ってもいいかもですが、それでは面白くないので、すこし詳しく書いてみることにします。

十進数において9倍するということは以下のように「ずらして引く」ことも意味します。

123456789×9=123456789×(10-1)

筆算で分かりやすく書くと,

　1234567890
－ 123456789
-----------
　1111111101

帳尻合わせをすれば、1の並びのみの数が作れそうです。

n=12345670+a
n×9=11111111-81+9a
9a-81=0⇒a=9

ちなみに、これは十進数でなくても成り立ちます。
例えば、十六進数だと以下のようになります。
これも×F（十進数では１６）が上記の場合の×9の「ずらして引く」役割を果たします。

123456789ABCDF×F=111111111111111

私の錆びた数学力では、この程度が限界です・・・。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
大変参考になり感謝申し上げます。

お礼日時：2010/07/21 06:08

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2010/07/20 14:58

同類の面白い数字に

0.142857
ってのがあります。

0.142857×１＝0.142857　元の数字
0.142857×２＝0.285714　左に２桁ずれる
0.142857×３＝0.428571　左に１桁ずれる
0.142857×４＝0.571428　右に２桁ずれる
0.142857×５＝0.714285　右に１桁ずれる
0.142857×６＝0.857142　３桁ずれる
0.142857×７＝0.999999　全部９になる

１～６を掛けると、小数点の部分が左右にズレます。ズレてはみ出した数字は逆から戻って来ます。

７を掛けると全部９になります。

これも数学的に考えると「桁がズレる正しい理由がある」のですが、それは質問者さんが考えてみて下さい。
（ヒント：循環小数と７での割り算）

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
大変参考になり感謝申し上げます。

お礼日時：2010/07/21 06:07

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/20 14:24

こんにちわ。

1行目の「12345679×9=11111111」がすべてを物語っていますね。＾＾
このように、1が並んでしまえば、あとは ×2、×3としていくだけです。

ですので、電卓で計算して見せるようなときは「9を最後に」かけるのがこつです。
（先に 9をかけるとネタがばれてしまう）

同じようなものに、37× 3＝ 111もありますね。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
大変参考になり感謝申し上げます。

お礼日時：2010/07/21 06:07