曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応する点における接平面の式として正しいものを、次の[1]~[4]の中から一つ選べ。
[1]z = 2x - 3y + 1
[2]z = 2x + 3y + 3
[3]z = 2x + 3y + 1
[4]z = 2x + 3y
…という問題だとしたら、答えはなんでしょうか?(実は問題に少し意図的な仕掛けがしてあります)
自分で途中までやってみますと
f(1,-1)
= 1^2 +(-1)^3
= 1 - 1
= 0
f_x = 2x
f_y = 3y
f_x(1,-1) = 2
f_y(1,-1) = -3
ここまでは合っていますよね?
接平面の方程式は
z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
ですよね?
では、お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>ここまでは合っていますよね?
間違っています。
誤:f_y=3y
正:f_y=3y^2
誤:f_y(1,-1) = -3
正:f_y(1,-1) = 3
>接平面の方程式は
>z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
>ですよね?
この公式は合っています。
正しい答えは
>[3]z = 2x + 3y + 1
です。
実は、投稿して自分で読んで初めて
誤:f_y=3y
正:f_y=3y^2
に気付きました。
本番ではその間違いのまま、f_y(1,-1) = -3で計算したので
z = 2x - 3y - 5
になってしまい、勘で[1]を選んでしまいました…。あーあ。
単純ミスに気を付けますね。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
微分なんかしてないで、(x,y) = (1,-1) + (h,k) を代入しよう。
z = (1+h)^2 + (-1+k)^3 = (1 + 2h + h^2) + (-1 + 3k - 3k^2 + k^3) = 0 + 2h + 3k + (h^2 - 3k^2 + k^3)
h,k について一次近似して、z ≒ 2h + 3k。これは、接平面が z = 2h + 3k であることを示している。
最初の式を使って、x,y の式に戻せば、z = 2(x-1) + 3(y+1) = 2x + 3y + 1。 答えは、[3]。
そんな方法があるんですね。なるほど、一次近似は平面を表しますものね。特に今回のように、べき乗が大きくない場合は使えそうですね。これはそのまま二次近似、三次近似と拡張できるんでしょうかね。面白そうです。ありがとうございました。
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