定規とコンパスだけで48°の角の作図はできますか？

定規とコンパスだけで48°の角の作図はできますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/31 09:43

おはようございます。

#1さんの「(1)正五角形と正三角形の作図の組み合わせ」がいいと思います。
正五角形の作図って難しそうですよね。
ちょっと調べてみたところ、やはり wikiにありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E8%A7%92% …

正五角形の作図 手順(3)に少し書き加えることで、48度が作図できます。
その様子を添付にしてみました。
（三角形DSTは正三角形で、角TDGが 48度になります。正三角形の作図はわかりますよね。＾＾）

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/01 00:06

sin48°の長さを作図してしまえば、よいのでは？

sin48°= sin(30°+ 18°)
= (sin30°)(cos18°) + (cos30°)(sin18°)
= (1/2)(cos18°) + ((√3)/2)√{ 1 - (cos18°)^2 }.　　…[1]

cos18°の値が判れば、sin48°も判ります。

加法定理を組み合わせて、cos の五倍角公式を作り、
cos(5θ) = 16(cosθ)^5 - 20(cosθ)^3 + 5cosθ
に θ = 18°を代入すれば、
0 = (cos18°){ 16(cos18°)^4 - 20(cos18°) + 5 }
となって、
cos18°= 0　or　±√{ 10 ± 2√5 } / 4.

円に内接する正 10 角形の図を描いて眺めれば、
cos18°= +√{ 10 - 2√5 } / 4　　…[2]
であることが解ります。

[2] を [1] へ代入すれば、sin48°が、有理数から
加減乗除と平方根だけの演算で作り出せる数である
ことが解ります。すなわち、作図可能です。

具体的には、直線上に線分を並べることによる加減算と、
相似の位置にある三角形の辺比を使った乗除算と、
三平方の定理を使った開平を組み合わせて、
[2] と [1] の計算を実行すればよい。

長さ sin48°の線分が得られたら、直径 1 の円において
長さ sin48°の弦を見込む円周角が、48°です。

No.1 回答者： mizuwa 回答日時： 2010/07/31 00:15

できます。

一例(概略)

(1)正五角形と正三角形の作図の組み合わせで、
・・・120°－108°＝12°

(2)合同を利用し4倍
・・・12°＊4＝48°