連成振動に関する質問です

連成振動に関する質問です

鉛直方向にｋ１、ｍ、ｋ２、M　の順にばねと重りがつなげられている問題なのですが（ばね定数と質量を表します。mのほうをA、MのほうをB）
下向きを正とするとき

・運動方程式は
mYa'' = -(k1 + k2)Ya + k2Yb
MYb'' = -(k1 + k2)Yb
で大丈夫ですか？

・この振動の固有振動数と固有振動モードの求め方を教えてください。
検索したのですが、いまいち固有振動モードという考え方がわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/08/02 00:55

モードの意味を理解していただくために，動画を添付します。

左２つが，２つのモードが実現するような初期条件を選んだ場合。右端は，適当な初期条件を選んでモードの重ねあわせになっている場合です。

この回答へのお礼

わざわざ動画まで・・・ありがとうございました！
微分方程式といてみます。

お礼日時：2010/08/02 11:38

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/08/01 23:33

Mの運動方程式がYaを含まないのは連成振子になってないのでおかしいと思います。

つりあい位置からのk2の伸びは，
Yb - Ya
だけ変化していますから，

MYb'' = -k2(Yb - Ya)

となると思います。

モード（規準振動）は，mとMが同じ振動数と位相をもって振動する振動パターンをさします。その振動数が系の固有振動数になるわけです。したがって，

Ya = A cosωt
Yb = B cosωt

とでもおいて，微分方程式に代入して，A,Bおよびωの間に成り立つ２つの方程式
a11 A + a12 B = 0
a21 A + a22 B = 0
を得ます。この２つが矛盾しないためには
a11・a22 - a12・a21 = 0
これは，ω^2に対する２次方程式になり，その解ω1，ω2が固有振動数となるのです。
ω1，ω2を上の２式に代入すると，それぞれの振動数に対するAとBの関係を得ます。これによって，２つのモードを決定することができたことになります。ちなみに，一般解はこれらのモードの重ね合わせになります。

※結果はけっこう複雑な形になるようです。

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/08/01 22:28

Ya,Ybは釣り合いの位置からの変位なら、それでok。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/a01 …
とにかく、微分方程式を解かなきゃ始まらない。
このURLにある対角化の方法をつかって解く。

この回答へのお礼

ありがとうございます！こういうHP探してました。
がんばってといてみます。

お礼日時：2010/08/02 11:37