2項関数(集合・べき集合)についての質問です。

2項関数(集合・べき集合)についての質問です。

（１）p(A)は集合Aのべき集合を表し、A×Bは集合AとBの直積集合を表す。
A={a,b,c}のとき集合p(p(A))の要素数を答えよ。

（２）A=p({a})のとき、集合A×p(A)を、要素を列挙して表せ。

という問題なのですが、

(1)はΦ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}の８個ではないか思ったのですが、『p(A)×p(A)』ではなく『p(p(A))』と書かれているので、違う気がしています。
a
(2)は何故A×p(A)とp(A)×p(A)の違いが分からず悩んでいます。

初歩的な質問ですみませんが、どなたか説明して頂けないでしょうか？
お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/08/08 00:33

信号機の質問をした人ですね？

この質問と補足をみて、どうしてわからないのか何となく納得しました。

どうやらベキ集合とは何か、直積とは何か、それと数学で使う括弧とかの記号の使い方が根本的にわかっていないんだと思います。

p(A)はAの部分集合全体

ここでAをp(A)で置き換えて、

p(p(A))はp(A)の部分集合全体

なわけですが、文章の書き方から受けた印象では、仮に誰かからここで詳細な回答をもらっても、どうしてその回答でいいのか理解できないだろうと思います。

集合論の本なり講義のノートなりを1ページ目からじっくり読み直してみることを強くお勧めします。

質問の問題たちは、べき集合と直積の定義がわかれば自力で必ず正答できます。

正答できなければわかっていないことになるので、この問題はそれをチェックするためのものと考えれます。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/13 19:41

No.3 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/08/06 13:58

補足を拝読しました．でも私の回答の基本的なスタンスは変わりません．

(1) で p(p(A)) を知るには，まず p(A) を知らなければなりませんが，

>p(A)のべき集合はΦ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}であるのは分かるのですが、

これはほんとうに正しいですか？ 次の2点を自問してください．
(i) 「p(A) のベキ集合は…である」は正しいですか？ 「p(A) のベキ集合」と「p(A)」は別のものです．
(ii) (i)の指摘への答が「『p(A)のベキ集合』で間違いありません」「p(A)の間違いでした」のどちらだったとしても，それに続く記述は正しいですか？ 「Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}」というのは8個の集合を並べて書いているわけですが，「***のベキ集合」とか「p(***)」というのは，複数の集合が並んだものですか？ それとも「1個の集合」なのですか？ 後者だとすると，「1個の集合」を書くべきところに「複数の集合を並べたもの」を書いているのだから，誤りです．

こういう疑問に完璧に答えられてはじめて，「p(A)とは何か」が明確になって，そこでようやく次の段階（p(p(A)とは何か）に進めるのです．上述の(i)(ii)の問に答えられないうちは，次の段階に進むべきではありません．

「解き方を教えてほしい」という問いかけに対しては，私の答はおおかた次の5点に集約されます．[I]--[IV] はNo.1の同語反復です．

[I] 複雑に記号が組み合わさったものを解釈するときには，当面の目標として処理しようとする記号は1個だけにする

[II] p(***) を知ることが当面の目標なら
(i) *** が何かをはっきりさせる
(ii) 「ベキ集合」とは何だったかを再確認する
(iii) (ii) で再確認したルールを *** に忠実に適用する

[III] ***×### を知ることが当面の目標なら
(i) *** と ### が何かをはっきりさせる
(ii) 「直積」とは何だったかを再確認する
(iii) (ii) で再確認したルールを *** と ### に忠実に適用する

[IV] ルールを逸脱した自分勝手な操作は絶対にしない

[V] 記号や言葉はルール通りに厳格に使って，あいまいな書き方や言葉遣いは徹底して排除する（たとえば「p(A) のベキ集合は…である」）．

とにかく，これら5点を肝に銘じて，自分の手を動かしてください．
p(p(A)) であろうと p(p(p(A))) であろうと対処の方法は上述の [II] であって，どう対処していいのかわからないのは [II] に従おうとしないからです．
これら5点を実行するために，卓越した思考能力もひらめきも必要ありません．必要なのは根気と分別，それと，[II](ii)や[III](ii)を手助けしてくれる教科書だけです．

「答を教えてほしい」という要望には，私は応じるつもりはありません．

この回答へのお礼

了解しました。
長文をかかせてしまい申し訳ありません

お礼日時：2010/08/13 19:41

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/06 13:53

たぶん, #1 は「怒っている」というより, あなたが基本的なところからできていないと感じたのではないでしょうか. そして私もそんな感じがします.

とりあえず (1) にしても (2) にしても, 全然関係のない p(A)×p(A) がどうして出てくるのかが私にはさっぱり理解できません. たとえば, 「15+32」を計算するときに「この式は 9-3 とは違うなぁ」と言われたら, あなたはどう感じますか? 何を言っているのだろうと不思議に思いませんか? その程度のことです.
でおまけ:
(1) あなたは何を「Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}の８個ではないか思った」のですか?
(2) 文章をよく読んでください. 「A×p(A) と p(A)×p(A)の違い」とかいう前に, 日本語として成立していません.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2010/08/13 19:42

No.1 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/08/06 12:13

たぶん，質問者さんに最も必要なアドバイス

「記号は一度に1個だけ，順を追って処理しなさい！ そして，記号はルールに忠実に従って処理しなさい！ いっぺんにたくさんの記号を処理してはいけません！ 自分勝手な解釈で記号を処理してはいけません！」

(1) で知りたいのは p(p(A)) です．p(p(A)) といえばそれは p(p(A)) でしかありません．それが p(A)×p(A) と同じと考える理由はどこにもありません．同じと考えるのは根拠のない勝手な考えでしかなく，数学的な妥当性は皆無です．
(2) で知りたいのは A×p(A) です． A×p(A) といえばそれは A×p(A) でしかありません．それが p(A)×p(A) と同じと考える理由はどこにもありません．同じと考えるのは根拠のない勝手な考えでしかなく，数学的な妥当性は皆無です．

p(***) が何かを知りたければ，
(i) *** が何かをはっきりさせる
(ii) 「ベキ集合」とは何だったかを再確認する
(iii) (ii) で再確認したルールを *** に忠実に適用する
ことをしてください．
そして，これ以外の自分勝手なことは絶対にしないでください．

(1) で知りたいのは p(p(A)) なので，*** の部分に p(A) をあてはめて実行することになります．
すると，(i) で「p(A) が何かをはっきりさせる」ことが要求されます．それをするには，やはり上述の手順で *** に A をあてはめて実行することになります．

(1)に出てくるのはAという集合と p(***) という操作だけです．ほかの操作は全くありません．だから「p(***) とは何かを知る」ということだけが必要で，そのほかのことを考える必要はありません（そのほかのことを考えてはいけません）．
そして，「p(***) とは何かを知る」ということは，上の (i)(ii)(iii) で述べた単純作業でしかありません．

(2)も同じで，***×### を知りたければ，
(i) *** と ### が何かをはっきりさせる
(ii) 「直積」とは何だったかを再確認する
(iii) (ii) で再確認したルールを *** と ### に忠実に適用する
ことをしてください．
そして，これ以外の自分勝手なことは絶対にしないでください．
A×p(A) が何かを知りたければ，上述の手順の *** と ### にそれぞれ A と p(A) をあてはめたことを忠実に実行するまでです．
(i) をしようとすると p(A) とは何かをはっきりさせることが要求されますが，それは，前の段落の手順をもう一度実行するまでです．
それら以外のことをする必要はありません（それら以外のことをしてはいけません）．

集合や論理が「わからない」と訴える人を見ていると，知識の不足とか能力の不足ではなく「変なこと，自分勝手なこと，でたらめなこと，根拠のないことをしてしまう」ことが原因である場合がものすごく多いのです．
集合や論理の基礎を理解するために，膨大な知識も，卓越した思考能力や「ひらめき」も不要です．むしろ必要な資質は「ルールに則って誤りなく着実に記号を処理する辛抱強さ」と「変なこと，勝手なこと，でたらめなこと，根拠のないことをしない分別」です．
質問者さんにはこれらふたつの資質の両方が決定的に欠けているように見受けられます．これらの資質を養うことなしに，集合や論理を正しく扱う能力を身につけることはできません．

この回答への補足

何やら凄い怒りを持たれているようで・・・。
質問が回答者様の逆鱗に触れてしまったのでしょうか。
申し訳ございませんでした。


質問があいまいでしたね。すみません。
(1)については、べき集合と直堰集合の違いは分かっていました。
p(p(A))がp(A)×p(A)だと決めて思ったのではなく、
p(A)のべき集合はΦ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}であるのは分かるのですが、
p(p(A))となったときに、どう対処すればいいのか分からなくなり、（{a,a},{b,b},{c,c}や{a,a,b}なども加わるということなのかどうか）
とりあえず質問をする上で自分の考えを述べるべきだと思い
>数学的な妥当性は皆無
であることを承知で書き込ませていただきました、

考え方よりも、この場合どういった解答になるのかを知りたかったのです。
boisewebさんの導いた解答がお聞きしたいです。

(２)に関しても、
本当にこちらの書き方が悪かったのですが、
私の思考能力云々ではなく、
解答と導き方を伝授して頂ければと思っていました。

補足日時：2010/08/06 13:04

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2010/08/13 19:42