違うレールでも同時に到達するのか？

Question

違うレールでも同時に到達するのか？

スタートとゴールが同じレールA（水平で一直線）,レールB（V字型）上をそれぞれ同じ大きさ、質量、初速の球を用いて同時に運動させると同時にゴールするのでしょうか？その理由も教えて下さい。よろしくお願いいたします。

-ok · Accepted Answer

前の質問

http://okwave.jp/qa/q6166114.html
への回答＃４が使えます。仮定は基本的に同じですが、ここではＶ字型斜面の底で運動は滑らかにつながるとします。

Ｖ字型斜面の対称性から、滑り始めから底までの時間と、底からはじめの高さまでの時間は同じです。よって、スタートとゴールの中間点までの水平方向の運動を比べればよいことになります。

前の回答の結果は（文字の意味については前の回答を参照してください）、
T = 8 (v0 / g) sin^2(θ/2) / sin(2θ)
として
0 <= t <= T ではＡが先行し、
t > T ではＢが先行する、
というものでした。

よって、スタートから中間点までの水平距離 X が
X <= v0 T ならＡが早く着き、
X > v0 T ならＢが早く着く、
ということになります。

逆転がおこる理由は前と同じです。

htms42 · Answer

＃１０です。

＞水平方向のｖ０の速さはそのままで斜面方向にはｖ０cosθで落下し始めるような気がするのですが。。。

「水平方向の速さが保存する」というのは水平方向には一切力が働いていない時に成り立ちます。
これは斜面から飛び出す場合に対応します。
斜面に沿っての運動が起こることは保障されていません。
斜面と接触していなければ放物運動です。鉛直真下向きの速度成分はｇｔになります。

放物運動になっているというのは次のように考えても出てきます。
水平方向にＶ０，斜面方向にはＶ０ｃｏｓθであるような運動が起こっているのであれば速度はこの２つの成分の合成した方向になります。斜面から離れています。
Ｖ０ｃｏｓθという速度成分が意味を持つ場面は存在しないことになります。

斜面に沿っての運動が実現しているのであれば何らかの浮き上がり防止装置が付いていることが前提です。
斜面への沈み込みの可能性もあります。これは斜面を作っている物質の堅さで担われている場合が多いですからほとんど意識されていないのです。でも放物運動をする場合以外であれば経路を指定するような力が存在していなければいけません。沈み込みを防ぐ力、浮き上がりを防ぐ力のどちらかが必ず必要です。拘束力（束縛力）と言います。

そういう装置が付いていて沈み込み、浮き上がりが起こらないとします。
この装置は沈み込み、浮き上がりを防ぐだけでエネルギーのロスは生じないと考えます。
この装置から働く力は面に垂直であるということになります。（運動方向に垂直な力は仕事をしません。）
向きだけを変えるような装置だということです。
転がってきた速さで斜面に入って行きます。

エネルギーが保存するという言葉を使っておられる回答がいくつかあります。
エネルギー保存が前提であればそれは斜面だけではなく、経路全体で成り立っているはずだと考えるのが筋でしょう。曲がり角もエネルギーが保存するような構造になっているはずです。

斜面でどういう運動が起こるかに関してこういうことが分からないのであればなぜ初めからそういう質問にしなかったのでしょう。あいまいな形で「どうなるでしょう」というパズル的な問を立てているので混乱しています。

前の質問でも「水平方向の移動距離は同じになるのでしょうか？」というあいまいな表現が使われています。場面設定はともかくとして時間が指定されていない問には答えることができないはずです。

htms42 · Answer

＃７です。

＃９
＞＃６では、水平なレールＡでの初速と、Ｖ字型のレールＢに沿った初速が等しい、と質問文を読みました。
＞これに対して、初速度の水平成分が等しい、としておられる回答もあるようです。

等速度で水平面を転がってきた球が「斜面に沿って転がり落ちる」という場面を考えているのであれば、転がってきた球の速さが斜面に沿っての運動の初速度になるとしていいはずです。

水平成分が保存するという考えを使うとしたら斜面からの飛び出しを考えないといけなくなります。
衝突の問題が入ってきます。

＃７では
＞初速度の大きさ、Ｖ字の深さの兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。
と書きました。

少し修正します。
「初速度の大きさ、Ｖ字の深さと幅の兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。」

＃８に「極端なＶ字お断り」とあります。
そうであれば水平からの落ち込みの角度が何度ぐらいまでなら当てはまるのかを示す必要があります。
３０度なら極端なＶ字になるのでしょうか。４５度ではどうでしょうか。
計算は簡単ですから計算して下さい。

単純に斜面に沿っての加速度がｇsinθになるとした計算でいいでしょう。
＃６のご回答にはその結果が示されています。
どの角度でも逆転は起こるという結果です。

３０度ではｇＬ／(Ｖｏ)^2＝８((２／√３)－１)＝ｋが逆転の起こる境界値です。
ＬはＶ字の幅です。

ｇＬ／(Ｖo)^2＜ｋ　であれば　Aの方が速いです。
ｇＬ／(Ｖo)^2＞ｋ　であれば　Bの方が速いです。

「Ｖ字の場合は加速が起こるのでＡよりもＢの方が常に速い」という事を理由にされている方があります。
でも加速が起こると同時に距離も伸びています。
加速度の効果は時間の２乗で効いてきます。
元々のＶｏが大きくて距離が短ければ加速度の効果が出てくる前にＶ字が終わってしまいます。むしろＶ字になって距離が延びたという影響の方が強く出てくるということになります。

-ok · Answer

＃６です。少し追加します。

質問文にある「同じ初速」をどう解釈するかで結果が違ってきます。

＃６では、水平なレールＡでの初速と、Ｖ字型のレールＢに沿った初速が等しい、と質問文を読みました。

これに対して、初速度の水平成分が等しい、としておられる回答もあるようです。

なお、この質問と前の質問（＃６で引用）では滑り出す時の条件が異なります。この質問ではレールＢは純粋にＶ字型であるとされていますが、前の質問ではレールＢも水平な部分から始まるとされていました。

nanntoyara · Answer

摩擦や、水平レールと傾斜レールの接点などの細かい点を無視することを前提に回答します（きりがないので）。

傾斜レールを下る球Ｂは、傾斜の抗力を受けて水平方向に等加速度運動をします。
したがって、傾斜レールを下っている段階の球Ｂの速度は平行レールの球Ａの速度以上であることになります。そして、Ｖ字の底で球Ａの速度は最大になります。もちろん、球Ａよりも早いです。
前の人達がおっしゃられている通り、エネルギー保存則から、傾斜を登り終えた球Ｂは初速に戻っています。
ということは、球Ｂが傾斜を登り始めて登り終えるまでの間の速度は常に球Ａの速度以上ということになります。
つまり、傾斜を下る段階で稼いだ分、球Ｂは球Ａよりも早く到着することになります。

実際は摩擦や空気抵抗等で球Ｂの到着速度は初速以下となりますが、それは球Ａにとっても同じことですので、上記考察は、「実際問題としてどうなるのか」という疑問に対する目安となると思います（ただし、極端なＶ字お断り）。
以上です。参考になれば幸いです＾＾

htms42 · Answer

初速度の大きさ、Ｖ字の深さの兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。

初速度が非常に遅いとしてみてください。
Ｖ字の端には同時に到着します。
そこからＡはやはりゆっくり進みます。ほとんど止まっているのと変わらないでしょう。
Ｂは重力で加速されます。斜面に沿っての自由落下とほとんど同じです。
Ｖ字の反対側に着いた時、Ａはほとんど進んでいないということが起こります。

初速度が大きくてＶ字の谷が深ければＡの方が速いということが起こるでしょう。
谷が深ければ谷底までの時間はいくらでも長くできます。

適当な仮定を置いて、時間を求めてみればいいです。
斜面に沿っての落下の計算ができれば時間は求めることができます。

tadys · Answer

逆V字型のレールを考えて見ましょう。
初速が遅いと頂点を超える事が出来ず永遠に到達できません。
逆V字の頂点の高さをだんだん下げていけば到達時間が早くなると考えられるでしょう。
頂点を水平より下げてV字型になればさらに速くなる事が期待できます。
（底の部分で衝突せずに滑らかに変化するとしてですが）

naniwacchi · Answer

おはようございます。

結論としては、同時にゴールしません。
レールＢの方が早くゴールすることになります。

先の方々も指摘されているように、「ゴールをしたとき」の早さは同じです。
これは力学的エネルギー保存則からわかることですね。

ただし、途中の経路での速さが違っています。
この説明にも力学的エネルギー保存則を用います。

過去に同じような質問がありましたので、そちらを一度参照してみてください。
「同じ位置エネルギーなのに到達時間がことなるのはなぜ？」
http://okwave.jp/qa/q5928550.html

yokkun831 · Answer

一般に，同時にゴールすることはありません。
満足な回答にはなりませんが，同時にゴールする理由がありませんね？
もちろん，同時にゴールするような条件をみつけることは可能です。

https://www.youtube.com/watch?v=gMgZwIjoK3M

k_kota · Answer

同時にはゴールしない。

する理由もないですし。

エネルギー保存の法則が成り立つとすると、
初速と最初の位置が等しくゴールの位置も同じである。
と言うことから、ゴールした時の速度は等しいはずです。

逆に言うと、ゴールする時以外の速度は異なって良いとも言えます。

なので、同時になる制約条件は無いので同時になりません。
例えば、途中に山があれば遅くなります。
谷の場合は距離が伸びるので微妙ですが、
双曲線とかそういう感じの曲線であればおそらく早く着くでしょう。

V字型とかは、弾性衝突が起こってしまうのでよろしくないと思います。

違うレールでも同時に到達するのか？

前の質問

＃１０です。

＃７です。

＃６です。

摩擦や、水平レールと傾斜レールの接点などの細かい点を無視することを前提に回答します（きりがないので）。

初速度の大きさ、Ｖ字の深さの兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。

逆V字型のレールを考えて見ましょう。

おはようございます。

一般に，同時にゴールすることはありません。

同時にはゴールしない。

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