No.6ベストアンサー
- 回答日時:
前の質問
http://okwave.jp/qa/q6166114.html
への回答#4が使えます。仮定は基本的に同じですが、ここではV字型斜面の底で運動は滑らかにつながるとします。
V字型斜面の対称性から、滑り始めから底までの時間と、底からはじめの高さまでの時間は同じです。よって、スタートとゴールの中間点までの水平方向の運動を比べればよいことになります。
前の回答の結果は(文字の意味については前の回答を参照してください)、
T = 8 (v0 / g) sin^2(θ/2) / sin(2θ)
として
0 <= t <= T ではAが先行し、
t > T ではBが先行する、
というものでした。
よって、スタートから中間点までの水平距離 X が
X <= v0 T ならAが早く着き、
X > v0 T ならBが早く着く、
ということになります。
逆転がおこる理由は前と同じです。
No.11
- 回答日時:
#10です。
>水平方向のv0の速さはそのままで斜面方向にはv0cosθで落下し始めるような気がするのですが。。。
「水平方向の速さが保存する」というのは水平方向には一切力が働いていない時に成り立ちます。
これは斜面から飛び出す場合に対応します。
斜面に沿っての運動が起こることは保障されていません。
斜面と接触していなければ放物運動です。鉛直真下向きの速度成分はgtになります。
放物運動になっているというのは次のように考えても出てきます。
水平方向にV0,斜面方向にはV0cosθであるような運動が起こっているのであれば速度はこの2つの成分の合成した方向になります。斜面から離れています。
V0cosθという速度成分が意味を持つ場面は存在しないことになります。
斜面に沿っての運動が実現しているのであれば何らかの浮き上がり防止装置が付いていることが前提です。
斜面への沈み込みの可能性もあります。これは斜面を作っている物質の堅さで担われている場合が多いですからほとんど意識されていないのです。でも放物運動をする場合以外であれば経路を指定するような力が存在していなければいけません。沈み込みを防ぐ力、浮き上がりを防ぐ力のどちらかが必ず必要です。拘束力(束縛力)と言います。
そういう装置が付いていて沈み込み、浮き上がりが起こらないとします。
この装置は沈み込み、浮き上がりを防ぐだけでエネルギーのロスは生じないと考えます。
この装置から働く力は面に垂直であるということになります。(運動方向に垂直な力は仕事をしません。)
向きだけを変えるような装置だということです。
転がってきた速さで斜面に入って行きます。
エネルギーが保存するという言葉を使っておられる回答がいくつかあります。
エネルギー保存が前提であればそれは斜面だけではなく、経路全体で成り立っているはずだと考えるのが筋でしょう。曲がり角もエネルギーが保存するような構造になっているはずです。
斜面でどういう運動が起こるかに関してこういうことが分からないのであればなぜ初めからそういう質問にしなかったのでしょう。あいまいな形で「どうなるでしょう」というパズル的な問を立てているので混乱しています。
前の質問でも「水平方向の移動距離は同じになるのでしょうか?」というあいまいな表現が使われています。場面設定はともかくとして時間が指定されていない問には答えることができないはずです。
No.10
- 回答日時:
#7です。
#9
>#6では、水平なレールAでの初速と、V字型のレールBに沿った初速が等しい、と質問文を読みました。
>これに対して、初速度の水平成分が等しい、としておられる回答もあるようです。
等速度で水平面を転がってきた球が「斜面に沿って転がり落ちる」という場面を考えているのであれば、転がってきた球の速さが斜面に沿っての運動の初速度になるとしていいはずです。
水平成分が保存するという考えを使うとしたら斜面からの飛び出しを考えないといけなくなります。
衝突の問題が入ってきます。
#7では
>初速度の大きさ、V字の深さの兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。
と書きました。
少し修正します。
「初速度の大きさ、V字の深さと幅の兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。」
#8に「極端なV字お断り」とあります。
そうであれば水平からの落ち込みの角度が何度ぐらいまでなら当てはまるのかを示す必要があります。
30度なら極端なV字になるのでしょうか。45度ではどうでしょうか。
計算は簡単ですから計算して下さい。
単純に斜面に沿っての加速度がgsinθになるとした計算でいいでしょう。
#6のご回答にはその結果が示されています。
どの角度でも逆転は起こるという結果です。
30度ではgL/(Vo)^2=8((2/√3)-1)=kが逆転の起こる境界値です。
LはV字の幅です。
gL/(Vo)^2<k であれば Aの方が速いです。
gL/(Vo)^2>k であれば Bの方が速いです。
「V字の場合は加速が起こるのでAよりもBの方が常に速い」という事を理由にされている方があります。
でも加速が起こると同時に距離も伸びています。
加速度の効果は時間の2乗で効いてきます。
元々のVoが大きくて距離が短ければ加速度の効果が出てくる前にV字が終わってしまいます。むしろV字になって距離が延びたという影響の方が強く出てくるということになります。
ご丁寧な回答ありがとうございます。よくわからないのですが、水平面上から斜面上に球が移動するとき実際問題として水平方向の速さv0がそのまま斜面方向にv0で運動するとは考えられないのですが。水平方向のv0の速さはそのままで斜面方向にはv0cosθで落下し始めるような気がするのですが。。。
No.9
- 回答日時:
#6です。
少し追加します。質問文にある「同じ初速」をどう解釈するかで結果が違ってきます。
#6では、水平なレールAでの初速と、V字型のレールBに沿った初速が等しい、と質問文を読みました。
これに対して、初速度の水平成分が等しい、としておられる回答もあるようです。
なお、この質問と前の質問(#6で引用)では滑り出す時の条件が異なります。この質問ではレールBは純粋にV字型であるとされていますが、前の質問ではレールBも水平な部分から始まるとされていました。
ご回答ありがとうございます。本当に知りたいのはレールBも水平な部分から始まる場合だったのですが、前の質問のご回答のようにその場合は球がレールから離れて弾性衝突することになるのですね。
No.8
- 回答日時:
摩擦や、水平レールと傾斜レールの接点などの細かい点を無視することを前提に回答します(きりがないので)。
傾斜レールを下る球Bは、傾斜の抗力を受けて水平方向に等加速度運動をします。
したがって、傾斜レールを下っている段階の球Bの速度は平行レールの球Aの速度以上であることになります。そして、V字の底で球Aの速度は最大になります。もちろん、球Aよりも早いです。
前の人達がおっしゃられている通り、エネルギー保存則から、傾斜を登り終えた球Bは初速に戻っています。
ということは、球Bが傾斜を登り始めて登り終えるまでの間の速度は常に球Aの速度以上ということになります。
つまり、傾斜を下る段階で稼いだ分、球Bは球Aよりも早く到着することになります。
実際は摩擦や空気抵抗等で球Bの到着速度は初速以下となりますが、それは球Aにとっても同じことですので、上記考察は、「実際問題としてどうなるのか」という疑問に対する目安となると思います(ただし、極端なV字お断り)。
以上です。参考になれば幸いです^^
No.7
- 回答日時:
初速度の大きさ、V字の深さの兼ね合いでどちらが速くつくことも可能です。
初速度が非常に遅いとしてみてください。
V字の端には同時に到着します。
そこからAはやはりゆっくり進みます。ほとんど止まっているのと変わらないでしょう。
Bは重力で加速されます。斜面に沿っての自由落下とほとんど同じです。
V字の反対側に着いた時、Aはほとんど進んでいないということが起こります。
初速度が大きくてV字の谷が深ければAの方が速いということが起こるでしょう。
谷が深ければ谷底までの時間はいくらでも長くできます。
適当な仮定を置いて、時間を求めてみればいいです。
斜面に沿っての落下の計算ができれば時間は求めることができます。
No.4
- 回答日時:
おはようございます。
結論としては、同時にゴールしません。
レールBの方が早くゴールすることになります。
先の方々も指摘されているように、「ゴールをしたとき」の早さは同じです。
これは力学的エネルギー保存則からわかることですね。
ただし、途中の経路での速さが違っています。
この説明にも力学的エネルギー保存則を用います。
過去に同じような質問がありましたので、そちらを一度参照してみてください。
「同じ位置エネルギーなのに到達時間がことなるのはなぜ?」
http://okwave.jp/qa/q5928550.html
No.2
- 回答日時:
同時にはゴールしない。
する理由もないですし。
エネルギー保存の法則が成り立つとすると、
初速と最初の位置が等しくゴールの位置も同じである。
と言うことから、ゴールした時の速度は等しいはずです。
逆に言うと、ゴールする時以外の速度は異なって良いとも言えます。
なので、同時になる制約条件は無いので同時になりません。
例えば、途中に山があれば遅くなります。
谷の場合は距離が伸びるので微妙ですが、
双曲線とかそういう感じの曲線であればおそらく早く着くでしょう。
V字型とかは、弾性衝突が起こってしまうのでよろしくないと思います。
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