オートマトン言語理論計算論I(サイエンス社)という本の第7、8ページに
すべての無限集合が等しい濃度を持つわけではない例として、
「整数全体の集合と実数全体の集合について考えてみよう。仮に、実数の
全体が正整数と1対1に対応づけられたとする。そのとき、各 i=1,2,3,…
について小数点以下 i 桁目が、第 i 番目の実数(上の対応で正整数 i に
対応づけられた実数)の小数点以下 i 桁目の数字に法10のもとで5を加え
た数であるような実数を考える。するとこれは上で正整数と対応づけられた
どの実数とも異なる数である。このことから、実数全体と正整数を1対1に
対応づけることがそもそも不可能だったことがわかる。」
とあり、この議論が対角線論法と呼ばれるそうですが、何度読んでもさっぱ
り理解できないのです。
特に
「そのとき、各 i=1,2,3,…について小数点以下 i 桁目が、第 i 番目の実数
(上の対応で正整数 i に対応づけられた実数)の小数点以下 i 桁目の数字に
法10のもとで5を加えた数であるような実数を考える」
がイメージできないのです。
もし対角線論法について理解されてる方がいらっしゃいましたら、是非とも
ご教授願いませんでしょうか?
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
カントールによる有名な証明です。
全ての実数が一列に並べられたとします。
そして、一つ目の実数の小数点一桁めの数字とは違う数字を選ぶ
2つめの実数の小数点二桁目の数字とは違う数字を選ぶ
・・・・
nこめの実数の小数点n桁目の数字とは違う数字を選ぶ
・・・・
こうやって新しい数をつくります。
以上のように選んだ数字で、小数点ひとけためから順序よく新たな
数字をつくります。
するとそのような数字は、もともと並べた数字のどれとも異なります。
なぜなら、必ず、小数点以下i桁目の数が違うように選ばれているわけですから。
したがって、「全ての実数を一列に並べられる」という仮定が誤っている、
したがって、実数は時全数と一対一の対応がつかない、との結論が得られます。
紙に書いてみると、左上から右下へ「対角線上の数字」に着目していきます
から、「対角線論法」と呼ばれます。
>「そのとき、各 i=1,2,3,…について小数点以下 i 桁目が、第 i 番目の実数
>(上の対応で正整数 i に対応づけられた実数)の小数点以下 i 桁目の数字に
>法10のもとで5を加えた数であるような実数を考える」
これは上記の論法で、「i桁目とは異なる数値を選ぶ」ということを嫌い、
特定の数値を指定するためのしかけだと思います。「選択公理」を使うことを
嫌ったのでしょう。
URLは「カントール」でGooを検索するといくつかでてきますが、
わかりやすいものがパッと見つけられませんでした。
だけれども、少し探せばあると思います。
解説ありがとうございました。
本の初っ端からつまづいていて、先が思いやられてますが、もっと想像力をもって読んでいこうと思います。
No.2
- 回答日時:
下記参考URLの質問「ごめんなさい、また無限です」をご覧下さい。
無限ネタは少し前に流行ったようですね。そこでのstomachmanさんの回答が完璧回答です。参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=31937
すいませんでした。 あらかじめ「教えてgoo」内を自分で検索するべきだったかもしれません。
有用なURLを教えていただきありがとうございました。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
おぼろげですが思い出しました。
証明は背理法によります。
仮定:すべての実数は順序付けできる(整数と対応付けできる)
いますべての実数を順序付けできたとすると、
1番目 0.1100・・・
2番目 0.12102・・・
3番目 0.13451・・・
と書き下すことができるはずです。(上の数字は例えばのものです。もちろん実際にはもっと稠密です)
さていま1番目の実数の小数点第1位を、適当な数に書き換えてみましょう。
(上記の例では「法10で5を加える」なんて書いてあるので分かりにくくなっているのですね。必ずしもそれでなくてよいのです)
例えば
0.2100・・・
といった具合です。さらに小数点第2位も適当に書き換えますが、このときにも第2番目の数の小数点第2位以外の数字を選びます。2番目の数字の小数点第2位は2ですから、例えば7に書き換えるとして
0.2700・・・
とします。さらに小数点第3位についても3番目の数字の第3位と違う数字に書き換えます。上記の例では4以外の数字を選びます。5にしてみましょう。
0.2750・・・
さてこうして作られた数は、一番最初の「実数を順番に並べたもの」のどこに入っているでしょうか。ところがi番目の数とは必ず小数点第i位の数字がが違いますから、この作られた数は実数のはずなのに、実数の集合のどこにも入っていないことになります。矛盾。
従って仮定が間違っていた・・・実数は整数と対応付けできない、という結論が導かれるのです。
目から鱗が落ちるようでした。なるほど、そう言われればそう解釈できますね。
もっと読解力を養わなければいけませんね。
ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
中2です笑 証明の問題がどうし...
-
関係と関係性の違いって何ですか?
-
ミラー指数:面間隔bを求める公...
-
認定書と証明書の違い
-
二項定理を用いて、つぎのこと...
-
有限個存在するとはどういうことか
-
環論、部分k代数について
-
おばけを信じたくないので、誰...
-
「証示」 ← 何て読みますか?...
-
微分の可能性の問題 f(x)=xsin...
-
形式陶冶(けいしきとうや) ...
-
キノの旅「・・・・あなたが正...
-
整数m,nについて 「m2乗+n...
-
無い事の証明
-
命題と証明の問題です。
-
コピペはどこまで許されるか
-
アリバイの対義語
-
平行四辺形ABCDにおいて、辺BC...
-
現代文をやっている高校3年です...
-
証明の終わりは、「よって題意...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
中2です笑 証明の問題がどうし...
-
自己の存在を自己証明できますか?
-
計算式について教えてください。
-
関係と関係性の違いって何ですか?
-
ミラー指数:面間隔bを求める公...
-
認定書と証明書の違い
-
文書に於ける、『以上』『以下...
-
原理と理論の違いを教えてくだ...
-
理論と原理の違い
-
数学の逆裏対偶の、「裏」と、...
-
日本で神道と仏教はどちらが先...
-
√(平方根)は身の回りでどのよう...
-
証明の終わりは、「よって題意...
-
時空乱流って本当にありますか?
-
運動方程式ma=Fは証明できますか?
-
進化論は事実ですか?論だから...
-
整数m,nについて 「m2乗+n...
-
ma=Fは数学で証明されていない?
-
証明書の開封無効
-
小学生でジュニアシートやチャ...
おすすめ情報