軌跡について

軌跡について

軌跡で逆の確認が必要な理由は同値変形が途中で崩れてしまう可能性があるからでうすよね。
一般にどのようなことをすると同値性が崩れてしまうんでしょうか？？
代入とかは同値性崩れないんですか？？

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/16 00:32

＞ 軌跡で逆の確認が必要な理由は

＞ 同値変形が途中で崩れてしまう可能性があるからですよね。

そうです。
風が吹けば桶屋が儲かるように、順々に推論していく過程は、
必要変形(直前の命題の必要条件を導出する操作)の連鎖です。
途中の何処かで、十分条件ではなくなっている可能性があり、
最後に確認しなければ、同値変形とは言えません。

＞ 代入とかは同値性崩れないんですか？

代入は、十分性が損なわれる操作の典型です。

式 A に式 B を代入して同値変形か？ というのは、
(A∧B)⇒C が証明できるとき、
(A∧B)⇔(C∧B) は真か？ ということですよね。

( (A∧B)⇒C ) ∧ not( (C∧B)⇒(A∧B) ) の真偽値を
「⇒」の定義に則して、計算してみてください。
恒偽にはならない(同値性に反例がある)ことが確認できます。

No.2 回答者： momordica 回答日時： 2010/10/15 15:20

> 軌跡で逆の確認が必要な理由は同値変形が途中で崩れてしまう可能性があるからですよね。

違います。
そもそも、軌跡を求めるときにする、複数の方程式から特定の文字を消去する変形は、
同値変形ではありません。
同値変形であれば、変形後の式から逆に変形前の式を導けなければなりませんが、
消去してしまった変数を、消去後の式だけをもとに復元することは不可能です。
例え、除外される部分がない場合であっても、同値性は必ず崩れています。
したがって、除外する部分があるかどうかは、同値性とは全く無関係です。

軌跡で逆の確認が必要な理由は、#1さんもおっしゃっている通り、パラメータを消去して
得られる関係式はあくまで必要条件に過ぎないからです。
逆にその関係式を満たす全ての点が、元のパラメータを含む関係式を必ず満足する保証は
ありませんので、確認してみて、必要なら条件に合わない部分を除外する必要があります。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/10/15 09:45

＞代入とかは同値性崩れないんですか？？

言ってる意味が分かりにくいが、軌跡の限界の事を言ってるんだろうか？
代入というのは、あくまでパラメーターを消去するだけの事に過ぎない。
パラメーターを消去すると軌跡の方程式が出る。それは、必要条件を求めたに過ぎない。

もちろん、求めた軌跡の方程式の全ての部分が求める軌跡である場合もある。
しかし、その場合も軌跡の限界がない事を(答案で)確認する必要がある。

問題に条件があれば、求めた軌跡の方程式の全ての部分が求めるものではない場合がある。
その軌跡の中で、除外される部分がある。それが十分条件を求める事になる。
それで初めて、必要十分条件としての軌跡を求める事になる。

軌跡を求めよ、という問題は必要十分条件を求めよ、という事。
軌跡の方程式から、除外される部分があってもなくても、その確認はしなければならない。