積分の応用なんですが

積分の応用なんですが

ｒ = aθ (0≦θ≦ｂ)　の曲線の周長の求め方が分かりません。
途中過程を詳しく解説していただけないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/10/20 04:31

曲線のx座標, y座標が媒介変数tを用いて表される時、

その曲線の長さLは

L = ∫ √{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt

で求まる事は習ったと思います(高校数学の数3)。
これをそのまま使えばよいです。

<曲線のx座標、y座標の媒介変数表示>
まずは曲線上の点のx座標、y座標を
何らかの媒介変数を用いて表すことから考えてみます。
曲線上のx座標とy座標は、原点からの距離rと角度θを用いて
x = rcosθ
y = rsinθ
と表されます(このままだとr, θと変数が2種類あるので扱いにくいです)。
今回の問題で問われているのは曲線r = aθなので、
これを上記のxの式、yの式に代入してみると

x = aθcosθ
y = aθsinθ

となって、x, yが変数θのみを用いて表されることになります。
これで曲線r = aθのx座標、y座標が媒介変数θを用いて表されました。

<曲線の長さLの求め方>
よって今回の問題では

L = ∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ (積分範囲はθ = 0 ～ 2π)

で求められます。

後の手順は数3で習った通り、
(1) xの媒介変数表示の式x = aθcosθからdx/dθを求める
(2) yの媒介変数表示の式y = aθsinθからdy/dθを求める
(3) L = ∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθに(1), (2)で求めた結果を代入
(4) 定積分∫√{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ (積分範囲はθ = 0 ～ 2π)を求める
となります。

ちなみに、不定積分を求めなくても
定積分の値を求める事ができるのは習ったと思います。
なので(4)の手順で不定積分が求まりそうになければ、
わざわざ不定積分を求めようとしなくても大丈夫です。
もし置換積分をするのであれば、双曲線関数を利用すると良いかも知れません
(もし双曲線関数を知らないのであれば、参考URLの方を見てください)。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2% …

この回答へのお礼

分かりやすくてたすかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2010/10/20 22:46

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2010/10/20 04:25

ｒ = aθ (0≦θ≦ｂ) 代数螺線のうちのθの指数が1だからアルキメデス螺線かな・・！？

極座標で表されているから、

∫[0,b]√(r^2 + (dr/dθ)^2)dθ

・・・を計算！