
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
[添付図を参照]
微小面積、dS=rdθ・dr=rdrdθは、
dS=[(r・tanθ_2)・dφ+{(r+dr)・tanθ_2}・dφ]・{dr/(cosθ_2)}/2
二次の微分を省略して
S=∫[φ:0~2π]dφ∫[r:0~R](r・tanθ_2)・dr/(cosθ_2)
=2π・(R^2/2)・sinθ_2/(cosθ_2)^2=π・sinθ_2・(R/cosθ_2)^2
当然ながら、これは三角錐を平面に展開したときの扇形の面積に
等しい。
つまり、開く角度をθとすると底面の円周の長さは
2π・{(R/cosθ_2)・sinθ_2} であるので
θ/2π={2π・(R/cosθ_2)・sinθ_2}/(2πR/cosθ_2)
∴θ=2π・sinθ_2
これから求まる円錐の側面の面積、
∫[r:0~R/cosθ_2]∫[θ:0~2π・sinθ_2]rdrdθ
に等しい。

No.1
- 回答日時:
> 球の微小面積はdSは、
R^2 sinθ dθ dR
で表されます。
これは半径Rの球の表面の微小領域の面積ですか?
Rが2回掛かってて、dRが掛かってるから体積の次元になってますが…
球座標系(r,θ,φ)を使うと球の表面の微小領域の面積は,
r^2sinθdθdφ
になると思うのですが…
> 円錐の側表面の微小面積
これは考えたことないですが…展開図描くと側面は扇形になるから.平面極座標系(r,θ)使って
rdrdθ
じゃあかんのでしょうか…??
回答ありがとうございます。
球に関してですがタイプミスです。
r^2sinθdθdφの間違えです。
円錐に関してですが、
やはりrdrdθのですか。
このrとθに関してですが、
rとは円錐を扇形に分解したときの、直線部分すなわち、円錐の側面の長さ
θとは円錐を扇形に分解したときの、開き角ということですよね?
例えば、母線(円錐を組み立てた状態での、円錐の中心を通る線)の長さがR
開口角(円錐を組み立てた状態での、頂点の鋭角)がθ_2
の円錐の表面積をrdrdθを積分することで求めたいとします。
rは、R/cosθ_2
で求まりますが、θはどのようにして求めれば良いのでしょうか?
出来れば、手順等教えて頂いても構いませんでしょうか?
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