円錐の微小面積を教えて下さい。

円錐の微小面積を教えて下さい。


球の微小面積はdSは、

R^2 sinθ dθ dR

で表されます。

一方で、円錐の側表面の微小面積はどういう式で表されますか？

検索などして調べたのですが、分かりませんでした。

どなたか教えて下さい。

No.1 回答者： egarashi 回答日時： 2010/10/21 23:14

> 球の微小面積はdSは、

R^2 sinθ dθ dR
で表されます。

これは半径Rの球の表面の微小領域の面積ですか？
Rが2回掛かってて、dRが掛かってるから体積の次元になってますが…

球座標系(r,θ,φ)を使うと球の表面の微小領域の面積は，
r^2sinθdθdφ
になると思うのですが…


> 円錐の側表面の微小面積
これは考えたことないですが…展開図描くと側面は扇形になるから．平面極座標系(r,θ)使って
rdrdθ
じゃあかんのでしょうか…？？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。


球に関してですがタイプミスです。
r^2sinθdθdφの間違えです。


円錐に関してですが、
やはりrdrdθのですか。

このrとθに関してですが、
rとは円錐を扇形に分解したときの、直線部分すなわち、円錐の側面の長さ
θとは円錐を扇形に分解したときの、開き角ということですよね？


例えば、母線（円錐を組み立てた状態での、円錐の中心を通る線）の長さがR
開口角（円錐を組み立てた状態での、頂点の鋭角）がθ_2
の円錐の表面積をrdrdθを積分することで求めたいとします。

rは、R/cosθ_2
で求まりますが、θはどのようにして求めれば良いのでしょうか？

出来れば、手順等教えて頂いても構いませんでしょうか？

お礼日時：2010/10/21 23:55

No.2 ベストアンサー 回答者： ere_Elba 回答日時： 2010/10/22 20:16

[添付図を参照]

微小面積、dS=rdθ・dr=rdrdθは、
dS=[(r・tanθ_2)・dφ+{(r+dr)・tanθ_2}・dφ]・{dr/(cosθ_2)}/2
二次の微分を省略して
S=∫[φ:0～2π]dφ∫[r:0～R](r・tanθ_2)・dr/(cosθ_2)
=2π・(R^2/2)・sinθ_2/(cosθ_2)^2=π・sinθ_2・(R/cosθ_2)^2

当然ながら、これは三角錐を平面に展開したときの扇形の面積に
等しい。
つまり、開く角度をθとすると底面の円周の長さは
2π・{(R/cosθ_2)・sinθ_2}　であるので
θ/2π={2π・(R/cosθ_2)・sinθ_2}/(2πR/cosθ_2)
∴θ=2π・sinθ_2

これから求まる円錐の側面の面積、
∫[r:0～R/cosθ_2]∫[θ:0～2π・sinθ_2]rdrdθ
に等しい。