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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
2次形式を対称行列で表現する方法はご存知ですね。
3次対称行列Aと列ベクトルXを次のように置きます。
A=(0,1,1; 1,0,1; 1,1,0) (;は行替えを表す)
X=(x1; x2; x3)
すると、
f(x1,x2,x3)=tXAX (tは転置行列を表す)
となります。
Aの固有値が 1,-0.5,-0.5ですから、適当な直交行列Mが存在して
A=tMBM
B=(1,0,0; 0,-0.5,0; 0,0,-0.5)
となります。
よって、
Y=(y1;y2;y3)=MX
g(y1,y2,y3)=y1^2-0.5y2^2-0.5y3^2
とすれば、f(x1,x2,x3)>0の条件はg(y1,y2,y3)>0と同値になります。
XにYを対応させる写像が位相同型なので、f(x1,x2,x3)>0なるXの集合の連結成分の個数は、g(y1,y2,y3)>0なるYの集合の連結成分の個数に一致します。
g(y1,y2,y3)>0なるYの集合は、頂点で接する2つの円錐になります。よって、連結成分は2個です。
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