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階数というのは、fの関数行列(ヤコビ行列)の階数のことでしょうか?もし、そうなら、次のようになります。
以下、S^2を地球の表面になぞらえて、x3>0の部分を「北半球」、x3<0の部分を「南半球」、x3=0の部分を「赤道」などということにします。また、赤道を含む平面で地球を切断した断面(円盤)をD^2とします(D^2={(x1,x2,0)|x1^2+x2^2<1)})。(北半球について)
北半球からD^2への写像hを
h(x1,x2,x3)=(x1,x2)
で定義します。いわゆる正射影です。また、fとhの結合写像をgとします。hが北半球からD^2への可微分多様体としての同型写像ですから、北半球各点でのfの階数は、対応するD^2の点でのgの階数に一致します。
g(x1,x2)=(1-x1^2-x3^2)^(1/2)
gの関数行列=(∂g/∂x1, ∂g/∂x2 )
∂g/∂x1=x1・(1-x1^2-x3^2)^(-1/2)
∂g/∂x2=x2・(1-x1^2-x3^2)^(-1/2)
ですから、D^2内でのgの階数は
(0,0)で0
それ以外の点で1
となります。よって、北半球でのfの階数は、
北極で0
それ以外の点で1
です。
(地球全体で)
上と同じようなことを、南半球、西半球、東半球でやれば、地球全体をカバーできます。fの階数は、北極と南極で0、それ以外で1になります。
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