写真の問題について、APベクトル・AQベクトルを求める際にcosθが出てこないのなぜでしょうか？ 解

写真の問題について、APベクトル・AQベクトルを求める際にcosθが出てこないのなぜでしょうか？
解説ではABベクトル・BCベクトルの計算を利用して
APベクトルとAQベクトルを求めたのちそれぞれをかけて答えを出していますが、内積を求める問題なのになぜcosθが出てこなかったのでしょうか

No.8 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/05/27 23:17

ベクトルを使うと、幾何学的な三角形の辺の長さと辺の間の角で内積を計算することができるが、同時に座標幾何学で各頂点の座標を表し、2つの頂点を結ぶベクトルを成分で表し内積も成分から計算できます。

例えばA(0,0),B(2,0),C(1,√3)とするとAB→=(2,0),BC→=(-1,√3)なのでAB→・BC→=-2となり角度は表に現れません。座標の値に含まれています。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/27 19:33

↑v=(a,b)

↑w=(x,y)
のとき
内積
↑v・↑w=ax+by
が
成り立つからcosθは不要

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/27 14:09

↑v=(a,b)

↑w=(x,y)
のとき
内積
(↑v,↑w)=ax+by
が
成り立つからcosθは不要

r=|↑v|=√(a^2+b^2)
s=|↑w|=√(x^2+y^2)
とすると
cosα=a/√(a^2+b^2)
sinα=b/√(a^2+b^2)
cosβ=x/√(x^2+y^2)
sinβ=y/√(x^2+y^2)
となるようなα,βがあるから
θ=α-β
とすると

↑v=(a,b)=(rcosα,rsinα)
↑w=(x,y)=(scosβ,ssinβ)

ax+by
=rs(cosαcosβ+sinαsinβ)
=rscos(α-β)
=|↑v||↑w|cosθ
=(↑v,↑w)

∴
(↑v,↑w)=ax+by

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/27 13:53

あー、「一辺の長さが２」だったか。

｜→AB｜ = ｜→AC｜ = 2 だから、
No.2 は
(→AP)・(→AQ) = (4/9)｜→AB｜^2 + (1/9)｜→AC｜^2
　　　　　　　　+ 2(2/9)｜→AB｜｜→AC｜cos∠BAC
　　　　　　　= (4/9)2^2 + (1/9)2^2
　　　　　　　　+ 2(2/9)2・2・cos60°
　　　　　　　= (4/9)4 + (1/9)4 + 2(2/9)2・2(1/2)
　　　　　　　= 28/9.
に訂正だな。

ちな、No.4 は
AB・BC = |2| |2| cos60　が間違ってる。
AB・BC = |2| |2| cos120° だよ。
図を書いて確認してみたら？

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/27 13:09

AB・BC=|2| |2| cos60=4*(1/2)=2

AP=AB+(1/3)BC
AQ=AB+(2/3)BC
AP・AQ={AB+(1/3)BC}・{AB+(2/3)BC}=|AB|^2 +(1/3)AB・BC
+(2/3)AB・BC+(1/3)(2/3) |BC|^2
=2^2 +{(1/3)+(2/3)}AB・BC +(2/9) 2^2
=4+1*AB・BC+(2/9)*4
=4+1*2+8/9
=6+8/9
=62/9

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/27 10:03

APベクトルとAQベクトルの成分が求まれば、内積を求めるのに APとAQとの角度は不要です。

基本ですよね？

APベクトル・AQベクトル
=|APベクトル|・|AQベクトル|cos(APとAQとの角度)
= APベクトルとAQベクトルの各成分の積の総和

もちろんAPベクトルとAQベクトルを求めるのに
正三角形の頂角60度は利用しまくりでしょう(^^;

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/26 23:40

実際にやって見せましょうか。

内分点の公式から、
→AP = (2/3)(→AB) + (1/3)(→AC),
→AQ = (1/3)(→AB) + (2/3)(→AC)
です。よって、
(→AP)・(→AQ) = ( (2/3)(→AB) + (1/3)(→AC) )・( (2/3)(→AB) + (1/3)(→AC) )
　　　　　　　= (2/3)(2/3)(→AB)・(→AB) + (2/3)(1/3)(→AB)・(→AC)
　　　　　　　　+ (1/3)(2/3)(→AC)・(→AB) + (1/3)(1/3)(→AC)・(→AC)
　　　　　　　= (4/9)｜→AB｜^2 + (1/9)｜→AC｜^2
　　　　　　　　+ 2(2/9)｜→AB｜｜→AC｜cos∠BAC
　　　　　　　= (4/9)1^2 + (1/9)1^2
　　　　　　　　+ 2(2/9)1・1・cos60°
　　　　　　　= (4/9) + (1/9) + 2(2/9)(1/2)
　　　　　　　= 7/9.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/26 23:29

＞ なぜcosθが出てこなかったのでしょうか

その θ というのは、∠PAQ のことを言っているのでしょうか？
cos∠PAQ を経由しなくても内積 →AP・→AQ が求められるのは、
→AP と →AQ が →AB や →AC を使った式で書けるため
→AP・→AQ が →AB・→AC を使った式で表せるからです。
内積には、式変形の法則がいろいろありますから。

でも、→AB・→AC のほうを求めるには、
cos∠BAC = cos60° = 1/2 を使う必要があるんです。
θ = 60° に対する cosθ は、出てこざるを得ません。