数学的帰納法の等式の証明がわかりません。
良くわからないのでわかる方がいましたら説明をお願いします。
1二乗+2二乗+3二乗...n二乗=1/6n(n+1)(2n+1)・・・(1)
n=1のとき(1)は
左辺=1、右辺1/6*1*2*3=1
よって(1)はn=1もとき成り立つ。
(1)がn=kのと成り立つと仮定すると、
1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。
n=k+1のとき
1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2)
左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗
=1/6k(k+1)(k+2)+(k+1)二乗
=1/6(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))
=1/6(k+1)(2k二乗+7k+6)
=1/6(k+1)(k+2)(2k+3)
=1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1)
よってn=k+1のとき(1)は成り立つ。
全ての自然数nについて(1)は成り立つ。
という問題なんですが・・・。
1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか?
どうしてもこれが何処から出てきたのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
> (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、
> 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。
> n=k+1のとき
> 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2)
この部分が変です。正しくはこんな感じになると思います。
*******************************************
(1)がn = kの時にが成り立つと仮定する。
つまり
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)
が正しいと仮定する。
この時n = k + 1でも(1)が成り立つ事を示す。
*******************************************
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)が正しい事を示すのではなくて、
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)は正しい等式だと見なすんです。
そしてこの「正しいと仮定した等式」を用いて、
(1)がn = k + 1でも成り立つ事を示すんです。
証明の続きは次の通りになります。
*******************************************
成り立っていると仮定している
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)
の両辺に(k+1)二乗を加える。
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)
↓
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗
となる。この等式の右辺を式変形すると
(右辺)
= 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗
= …
= 1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1)
よって
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗
↓
1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1)
となって、n = k + 1の時も(1)が成り立つ事が言える
*******************************************
> 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか?
後半の証明の先頭~3行目までの部分です。
成り立っていると仮定している「1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)」の両辺に、
(k+1)二乗を自分で勝手に加えたんです(等式変形なので問題はないですよね?)。
(1)にn = k + 1を代入した等式が成り立つ事を示したいので、
とりあえず「(1)にn = k + 1を代入した等式の左辺」を無理矢理作ってます。
後は右辺を上手く式変形して、「(1)にn = k + 1を代入した等式の右辺」にしてあげるんです。
No.4
- 回答日時:
> (k+1)二乗はどこから出てきたんですか?
(a) ある式が、n=1 のとき成り立つ。
(b) その式が n=k のとき成り立っていれば、n=k+1 でも成り立つ。
という二つの条件が成立していれば、その式は任意の自然数 n で成り立つ。
…というのが、数学的帰納法。数学的帰納法は、自然数の定義の一部です。
(k+1)^2 は、この (b) の後半部分から出てきたのです。
質問文中の証明は、(b) の構成が全くオカシイ。
> (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、
> 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。
1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) は、これを示せばよいのではなく、
これが成り立つことを仮定したのです。その仮定の下で、
1^2 + 2^2 + 3^2 + … + (k+1)^2 = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) と示せばよい。
それが、(b) の言っていることです。
> n=k+1のとき
> 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2)
> 左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗
その書き方だと、「左辺」が何の左辺だか、よく解りません。
ひとつ上の行との関係が全く不明…というか、誤解の元となっています。
以下のように改定してみては、どうでしょう。
# (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、
# 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2)。
# これを仮定した下で、n=k+1のとき
# 1二乗+2二乗+3二乗+...(k+1)二乗=1/6(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)と示せばよい。
#
# 左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗
# =1/6k(k+1)(k+2) + (k+1)二乗
# =1/6(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))
# =1/6(k+1)(2k二乗+7k+6)
# =1/6(k+1)(k+2)(2k+3)
# =1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1)
# よってn=k+1のとき(1)は成り立つ。
#
# よって、数学的帰納法より、
# 全ての自然数nについて(1)は成り立つ。
No.2
- 回答日時:
>1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか?
ここは n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1 でも成り立つことを示すために出した式です。
最初の式で nにk+1を代入した式になっていますよね。
ここが数学的帰納法のミソです!
以下に、数式を整理して、ポイントを解説します。
【証明すべき等式】 Σ[i=1→n] i^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1)
(1) n=1 のとき (左辺)=(右辺)=1 となり成立。
(質問者さんの解答でOKです。)
(2) n=k のとき Σ[i=1→k] i^2 =(1/6)k(k+1)(2k+1) が成立すると仮定して、
Σ[i=1→k+1] i^2 =(1/6)(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1} が成り立つことを示します。
(ここの質問者さんの記述がいけません。 「n=kのとき成立」 ⇒ 「n=k+1のときも成立」を示さなければなりません。)
(左辺)=Σ[i=1→k+1] i^2=Σ[i=1→k] i^2 +(k+1)^2 =・・・=(右辺)
(この式変形はOKです!)
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