数学教えてください。

ｔがすべての実数値をとって変化するとき、次の式で表せる点（ｘ　ｙ）はどんな図形上を動くか。

1.ｘ＝ｔ＋5、ｙ＝-4ｔ＋1

2.ｘ＝ｔ-1、ｙ＝2ｔ*-3ｔ+1

よろしくおねがいします

No.5 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/19 23:20

1.　x=t+5　　・・・・(1)

　　y=-4t+1　・・・・(2)

　式(1)を変形して　t=x-5 ・・・・(3)
　式(3)を式(2)に代入して
　　y=-4(x-5)+1 =-4x+21

　ここで、tはすべての実数値をとるので、式(1)からxもすべての実数値をとります。
　従って、点(x.y)は 傾き－４、ｙ切片２１の直線:y=-4x+21 上をすべて動くことが分かります。


2.　x=t-1　　　・・・・(3)
　　y=2t^2-3t+1　・・・(4)

　設問1.と同じように式(3)からt=x+1 として式(4)に代入してもいいですが、ここでは代入の計算が楽になる別の方法として式(4)を因数分解してから求めてみます。

　式(4)は因数分解できて、次のように表されます。
　　y=(2t-1)(t-1) ={2(t-1)+1}(t-1)

　この式に式(3)を代入しますと、次のようになります。
　　y=(2x+1)x =2x^2+x =2(x+1/2)^2-1/4

　ここで、tはすべての実数値をとるので、式(3)からxもすべての実数値をとります。
　従って、点(x,y)は　頂点(-1/2,-1/4)、軸:x=-1/2 とする下に凸な放物線:y=2x^2+x 上をすべて動くことが分かります。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/19 22:11

t を消去して x と y の式にすればよいのですが、

消去する際、そのような実数 t が存在するように、
x, y の範囲が制限を受けます。
質問の問題の場合、たまたま、t を消去して得られる
曲線上の全ての (x, y) に対して、対応する実数 t が
存在しますが、いつもそう上手くいくとは限りません。
答えの式を得た後で、式上の各点について
t の存在を確認しておくことが必要です。
試験などでは、それを書かないと(式があっていても)
減点の対象になります。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/11/19 21:37

tをパラメータと呼びます。

パラメータが出てきたときの定石の一つは
「パラメータは消去せよ」です。

1.ｘ＝ｔ＋5　　　(1)
　ｙ＝-4ｔ＋1　　(2)

(1)より
　t=x-5
これを(2)へ代入
　y=-4(x-5)+1=-4x+19
傾き-4、y軸との交点が（0,19）の直線です。

2.ｘ＝ｔ-1　　　　　　(1)
　ｙ＝2ｔ*-3ｔ+1　　　(2)
(2)は意味不明ですが
y=2t*t-3t+1 (3)
つまりtの２次式とします。

(1)より
t=x+1
これを(3)に代入して
y=2(x+1)*(x+1)-3(x+1)+1
=2x*x-x=2x(x-1/2)
x軸との交点が0、1/2の下に凸の放物線です。



　

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/19 21:27

こんばんわ。

tは媒介変数と呼ばれますね。
「媒介」とは「仲を取り持つ」という意味があります。
つまり、xと yの仲を取り持っているわけです。

その tがいなければ、xと yの直接的な関係が得られます。
いまの問題であれば
x＝・・・の式から t＝・・・の形に変形してから yの式に代入すればよいです。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/11/19 21:26

こんにちは。

発想の転換を問う問題です。

1.ｘ＝ｔ＋5、ｙ＝-4ｔ＋1

ｘ＝ｔ＋５　より　ｔ＝ｘ－５
これを　ｙ＝－４ｔ＋１　に代入すると、
ｙ　＝　－４（ｘ－５）　＋　１
ｙ　＝　－４ｘ　＋　２１
という直線（＝　一次関数のグラフ）。


2.ｘ＝ｔ-1、ｙ＝2ｔ*-3ｔ+1

１と同じ考え方です。