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高校生を家庭教師で教えています。
数学Bの数列でΣk=1/2n(n+1)、・・・・・・k2乗、k3乗と公式がありますが、Σ1/k=???です。
その昔聞いていると思いますが、記憶があいまいで・・・・・、どなたか教えてください。
宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

{1/k}は調和数列と言いますが、


この部分和は一般的なnの形で表す事ができません。

だいたいの大きさであれば、y = log x との大小で評価する事ができます。
http://www.cfv21.com/math/stepfunc.htm


なお、調和数の無限級数は正の無限大に発散します。

 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …
> 1/1 + 1/2 +(1/4 + 1/4)+(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)+ …
= 1/1 + 1/2 +      + 1/2          +
このように、2個、4個、8個…ずつグループ化することで、
1/2がいくつでも作れるからです。
直観に反する不思議な結果ですね。


また、1/(k^2) の無限級数は、なんと(π^2)/6に収束します。
数列の和からπが飛び出すなんて、
これもとても不思議で、数学の魅力がつまった式です。

バーゼル問題 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC% …
リーマンゼータ関数 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC% …
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Σ(1/k),[k=1,n]についての和の公式は、一般的な式では表せないため、存在しません。



難しくなりますが、この和は「調和数(harmonic number)」としてHnで定義されています。
詳しくは参考URLをご覧下さい。

Hn≡Σ1/k, (k=1,…,n)
 ≡γ+ψo(n+1)
ここで、
γは Euler-Mascheroni 定数、ψ(x)=ψo(x)はダイガンマ関数です。

参考URL:http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
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 自然数の逆数の和(Σ1/k)は、自然数の冪和(Σk^r,r:自然数)のように、nの有限多項式で表すことができません。



 定積分や特殊関数であるディ・ガンマ函数を使えば表すことができます。

 Σ[k=1→n] 1/k =∫[t=0→1] {1-(1-t)^n}/t dt =γ+ψ(n+1)

  ただし、γ:オイラーのγ定数(≒0.5772)、ψ:ディ・ガンマ関数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
http://books.google.co.jp/books?id=T1EtFNRObVIC& …


 高校数学の範囲を超える内容かと思われます。
 もし高校生からの質問でしたら、そのように答えられると良いと思います。
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Q調和数列の和なんですが。。。。。

Σ(K=1からnまで)1/K^2
なんですけど、いろいろな参考書や問題集を見ても載っていません。どのように解けばいいんでしょうか。部分分数分解やかけずり引き算(Sn-xSn)などいろいろ試したのですが、無理でした。出すのはむりなんでしょうか?また、
Σ(K=1からnまで)1/K についても教えてほしいです。何卒よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これは無理です。

一般に自然数のs乗の逆数の和、
Σ(k=1,∞)1/(k^s)
をゼータ関数といって、ζ(s)と表します。

sが偶数のときは分かっていますが、奇数のときは分かっていません。

1からnまでの和が簡単なnの式で表わされれば、この問題も解決される
わけで、世界的なニュースになるでしょう。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Q1/1+1/2+1/3+...+1/100

タイトルの通りです。
1/1+1/2+1/3+...+1/100 はどう計算すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

(No.9の続きです)
なおこの方法を使えば、例えば第1000項までの和の近似値を求めることも筆算で可能です。

S"=1/11+1/12+…+1/999+1/1000 とおき、この3項ずつの置き換えによる近似を4回行えば
S"≒4S-(1475393/205744) となりますので、
求める第1000項までの和の近似値は
5S-(1475393/205744)≒5*2.929-7.171=7.474…  

この1/1から1/1000までの和をパソコンで計算させると7.4854…となりました。

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q浪人で四谷学院か河合塾どちらが良いですか?

18歳 男性です。大阪在住。
浪人が決まって、予備校に行くことになったのですが、四谷学院か河合塾ま迷っています。
僕の偏差値は45ぐらいで、現役の時は龍谷大学を目指していました。
今年は浪人するわけですから、国立の岡山大学か広島大学を目指して頑張ろうと思っています。
駄目でも良いので、一年間全力でやり抜きたいと思っています。
やらないで後悔したくありません。

そこで河合塾か四谷学院どちらが良いですか?

今の僕の両塾の感想は
【河合塾】
・しっかりついて行くことができれば、成績をのばせそう。
・実績があり、バックアップが良さそう。
・国公立コースなので、授業の内容がしっかりやってもついて行くことができるのか不安。
・テキストの質は良いと思う。
・夏の合宿や日曜対策講座などがなく、一定のペースで一週間勉強できる。
・国公立コースでも日曜は必ず休み。

【四谷学院】
・授業についていけないことにはならないと思う。
・個別指導もあるので自分の補強必要部分がわかりやすいと思う。
・あまり良い評判を聞かない。
・55段階個別指導で入試に間に合うのか疑問。
・夏の合宿や秋からは日曜対策講座もあり、日程が変則的でペースが乱れそう。
・日曜も講座があれば休みが1日もない。
・受験生でも週1日は休みが必要で、気分転換や次の一週間に向けての準備が必要だと思う。

もちろん、どちらに入ったとしても、全力でやります。
実際にどちらも説明にも見学にも行っていませんが、資料はしっかり見ました。
どちらの予備校が良いですか?
予備校経験のある方、詳しい方は特にお願いします。

18歳 男性です。大阪在住。
浪人が決まって、予備校に行くことになったのですが、四谷学院か河合塾ま迷っています。
僕の偏差値は45ぐらいで、現役の時は龍谷大学を目指していました。
今年は浪人するわけですから、国立の岡山大学か広島大学を目指して頑張ろうと思っています。
駄目でも良いので、一年間全力でやり抜きたいと思っています。
やらないで後悔したくありません。

そこで河合塾か四谷学院どちらが良いですか?

今の僕の両塾の感想は
【河合塾】
・しっかりついて行くことができれば、成績をのばせ...続きを読む

Aベストアンサー

四谷学院のOBです。他で(河合ではありませんが)学費が○%引きの特待で在籍もしていました。

 たしかに大手の予備校の講師は受講して「凄い」と感じますが、それを自分の学力に反映できるかと言われれば疑問です。「聞いて理解できる」と「その内容を問題を解く時に使える」は別物なんです。また大手予備校の人気講師は難関大学の講座が中心で、中堅大学の講座にはあまりいません。いたとしても単科講座といって、年間60万等の学費は別にかかる講座を取らないといけません。

 大手予備校の場合、サボっていても何も言われません。四谷の場合は、55段階の時は雰囲気的にサボりにくく、結局勉強する環境になります(集団授業でもあてられることがあるので、勉強する環境になりやすいです)。特に55段階は、「自分で分かっているつもり」の箇所を徹底的に突っ込まれ、基礎が分からず、勿体ない失点を教えてくれます。
 大手は「多くの人数に良質な授業をし、その中から生き残った人間が合格」していく構造です。そのため、大手予備校のCMは環境より合格者の数字を前面に押し出しています。あれは「数字がいい=いい環境と思う=いい人材が集まりやすい」だけであり、その連鎖で数字が出ているだけです。成績がイマイチな人は予備校からすれば「数字(宣伝材料)にならないが貴重な利益貢献者」となります。その証拠に大手予備校では名門進学高校の生徒の授業料は無料が多く、普通の高校からはしっかりお金を取っています。生徒には合格の数字かお金の数字を出すようになっています。そのため、費用と授業の質を考えると(先に挙げた名門講師は難関大対策にしかいないことも考えると)優秀な受験生は非常に割安いで、そうでない生徒は(優秀な人の費用も負担していることになるので)非常に割高です。ちなみに四谷学院は解く体制度は一切ないと思います(私の時はなく、今もないでしょう)。

 あなたの目指すレベルであれば自分でしっかりやっても到達できますが、大手の場合は実績にほとんど関係ない大学なので、予備校としてのフォローも期待できません。特に大手は年間費用を一気に先に払うので、フォロー等のクレームでやめられてもお金の損失がないからです。大手予備校のテキストは情報に無駄がないものですが、白黒の(私には)使いにくいものでした。四谷は市販の参考書のようなカラフルな教科書・参考書です。

 ちなみに55段階の到達ですが、これは心配ありません。55段階全部終わらないと意味がないものではなく、最初の30~40%で出題範囲の内容は終わります。それ以降の級・段は演習形式になっており、残りの30%は早以上の人だけに必要なもので、全部終わったら「どこでも大丈夫」というカリキュラムです。私自身、英語・国語は終わらなかったものもあります。ちなみに、1時間でやれるだけやっていいので、初めのころは1時間で5級くらい進みます(秋以降は2~3級程度が多いです)。55段階の一番の目的は、範囲を網羅することと、自分が勉強したことを可視化でき、やる気が出る点です。授業を受けっぱなしの予備校だと感じにくい部分です(それを感じなくても自発的にやれる人には効果はありませんが)。
 ちなみに日曜講座や合宿に私は一切参加していません。夏季・冬季の講習はそこそこ取りましたが、通常の時期と同じかそれより少ない授業数で十分です。

 ちなみに、四谷は3月中に申し込むとその時点で55段階の指導を受けられます(今やっているかは確認してみてください、私の時はそうでした)。私は4月から通ったのでできませんでしたが、既にハンコをもらっている人がいて、「しまった」と後悔しました。評判に関しては、正直集団授業の講師の質は大手に及びません。ただ、四谷はそれ以上に学習システムがしっかりしていると思います。

四谷学院のOBです。他で(河合ではありませんが)学費が○%引きの特待で在籍もしていました。

 たしかに大手の予備校の講師は受講して「凄い」と感じますが、それを自分の学力に反映できるかと言われれば疑問です。「聞いて理解できる」と「その内容を問題を解く時に使える」は別物なんです。また大手予備校の人気講師は難関大学の講座が中心で、中堅大学の講座にはあまりいません。いたとしても単科講座といって、年間60万等の学費は別にかかる講座を取らないといけません。

 大手予備校の場合、サボっていて...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む


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