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題名のような数、式があれば教えてください。(暇があれば)

たとえば2と2で
2+2=4、2×2=4

1+e^{x}と1+e^{-x}で
(1+e^{x})+(1+e^{-x})=2+e^{x}+e^{-x}
(1+e^{x})(1+e^{-x})=1+e^{x}+e^{-x}+1=2+e^{x}+e^{-x}

なんてのを。(この二つしか知らないので)

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A 回答 (10件)

付けたしです。

すでに出てるとおり、ひとつの数をAとすると、もうひとつの数は、
B=A/(A-1)
で与えられるのですから、これを式に対しても考えれば、
ある式f(x)をとり、もうひとつの式g(x)を、
g(x)=f(x)/(f(x)-1)
で与えれば、

f(x)+g(x)=f(x)+f(x)/(f(x)-1)=f(x)^{2}/(f(x)-1)
=f(x)[f(x)/(f(x)-1)]=f(x)g(x)

となりますね。たとえば、
2cos^2(x) と 2/(1-tan^2(x))
なんかが作れちゃいます^^。
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この回答へのお礼

おお!すごい。感動しました。

お礼日時:2003/09/10 21:20

おもしろそうな問題だなと思ったので、考えてみました。



足した値と掛けた値が同じふたつの数を、X、Yとおくと、
既出のとおり、X+Y=XY、なので、X+Y=XY=Zとおくと、
XとYは、2次方程式t^2-Zt+Z=0 の2つの解です。
よって、
(X,Y)=((Z+√(Z^2-4Z))/2、(Z-√(Z^2-4Z))/2)
複素数の範囲ではこれですべてです。もちろん、Zは複素数です。
Z=0のとき、(X,Y)=(0,0)
Z=4のとき、(X,Y)=(2,2)
Z=-1/6のとき、(X,Y)=(-1/2, 1/3)
などなど。つまり、どんな複素数も、ある(唯一の)2つの複素数の和であり、積でもある、ということになりますね。

質問にある1+e^{x}と1+e^{-x}の一般化なら、
単位元をもつ任意の環において、uを単元としたとき、
( 1+u, 1+u^{-1} )
は足しても掛けても、2+u+u^{-1}になる。
( 1-u, 1-u^{-1} )もOK。e^{x}は、実数上定義された実数値関数全体のなす環の単元です。複素数でもいいけど。あとは、行列環とかありますけど。けど、この1+uという形以外のがあるとおもしろいですね。もうちょっと考えてみます。
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#5さん、


『一般に、A×B=CならC÷B=A』 ではありません。
これが成立するのはB≠0の時だけです。

さて、質問の方ですが

a,b∈C,≠0 の場合、a+b=ab を変形して 1/b+1/a=1 ですから、答えは不可算無限個ありますね。

群論的発想で考えるともっと面白いことが分かるかも知れませんね。意外と奥が深かったりして。。。どなたか調べてみませんか?
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この回答へのお礼

>群論的発想

んーよくわからないけど、ホントに意外と置くが深いのかも。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/09/10 22:22

ONEONEさん、こんばんは。


面白そうな問題ですね。

掛け算と足し算が同じなので、そのような2数を
A,Bとすると

AB=A+B
AB-A-B+1=1
(A-1)(B-1)=1

ここで、A-1≠0、B-1≠0とすると
B-1=1/(A-1)
B=1+1/(A-1)=(A-1+1)/(A-1)
=A/(A-1)

のような2数を出せばいいのですね。
たとえばA=2のときはB=2
(これがONEONEさんの例の数値)

A=3のときがB=3/2

A=4のときがB=4/3

・・・となって、解はいくらでもあることになりますね。

A=0のときはB=0となりますが、もちろんこれもいいのです。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
なんか道筋を見失っていたような・・・私

お礼日時:2003/09/10 22:20

回答ではありませんが


#5さん

掛け算と割り算間違ってません?

>1×0は不能になります。また、0×1については0になります。

掛け算の交換法が成立する事実を否定していますね。
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回答ではありませんが、#1さんへ


0×0=0ではありません。逆算してみてください。一般に、
A×B=CならC÷B=Aです。そしてA=B=0であるならCは不定になります。同様に
1×0は不能になります。また、0×1については0になります。
質問者の方、申し訳ありませんでした。
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A+B=ABを満たすAとBなので、


A=B/(B-1)となります。

よって、
xとx/(x-1)が答えになります(x≠1)。

x=0 : 0と0
x=1.1 : 1.1と11
x=1.2 : 1.2と6
...
x=2 : 2と2
x=3 : 3と3/2
...
などなどです。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

お礼日時:2003/09/09 20:13

3+1.5=3×1.5


4+(4/3)=4×(4/3)
5+1.25=5×1.25

一般的にnを2以上の整数としたとき
nとn/(n-1)

-1+(1/2)=-1×(1/2)
-2+(2/3)=-2×(2/3)
-3+(3/4)=-3×(3/4)
一般的にnを自然数としたとき
-nとn/(n+1)

2つの数をA、Bとおいたとき
A+B=A×Bということは
(A-1)(B-1)=1が成り立つ数であればよいので
いくらでもあります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2003/09/09 20:13

-1/2と1/3・・・答えは-1/6です。



そう言う問題ありますよね。
何か解き方があると思いますが・・・
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単純なので



0+0=0
0×0=0
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この回答へのお礼

不意打ちなり!(笑)
どうもありがとうございました

お礼日時:2003/09/09 20:11

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までにとどまりました。力及ばずです。

プログラムを組んで数え上げたところ、168×2通り(×2は、
「●-○=△」と「●-△=○」をカウントするの意)のようです。



与式を、[pqr]+[xyz]=[abc]と表すことにする。
 ・[pqr]は、100,10,1の位がそれぞれp,q,rの3桁の数。
  値は=100p+10q+r
 ・p,q,r,a,b,c,x,y,zは、1~9のいずれかで互いに重複無。

このとき、ある位での足し算は、
・前の位での繰り上がりで1更に足される
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・上記2つ以外(繰り上がりの影響皆無)
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従って、
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={c,b,a}、{c,b+10,a-1}、{c+10,b-1,a}、{c+10,b-1+10,a-1}
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これより、
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(1)~(4)を満たすa,b,c,p,q,r,x,y,zを見出せばよい。

なにしろコタエが多いので、できるだけ数式で解こうとしましたが、
以下の通り(1)~(5)の条件を満たす組み合わせ、ということを導く
までにとどまりました。力及ばずです。

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