体積を求める問題

a,bを正の実数とし、空間内の2点A(0,a,0)、B(1,0,b)を通る直線をLとする。直線Lをx軸の亜割に1回転して得られる図形をMとする。

(1)x座標の値がtであるような直線Lの上の点Pの座標を求めよ。　　答(t,a-ta,tb)

(2)図形Mとxy平面が交わって得られる図形の方程式を求めよ。

(3)図形Mと２つの平面x=0とx=1で囲まれた立体の体積を求めよ。


出典：北海道大学　2004年

この問題の(2)と(3)が分かりません。
できるだけ詳しい解答だと、嬉しいです。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/09 15:20

(1)

>空間内の2点A(0,a,0)、B(1,0,b)を通る直線をLとする。直線Lをx軸のまわりに1回転して得られる図形をMとする。
AとBを通る「直線」をLとする。なので「直線L」なので無限長ですね。

直線Lの媒介変数表示：(x,y,z)=(1-t)(0,a,0)+t(1,0,b)=(t,a(1-t),bt)
直線Lなので媒介変数tのとりうる範囲はずべての実数範囲です。

Lのx,y,z座標表現：
x=t,y=a-ax,z=bx
a>0,b>0であることを考慮して　
∴x=(y-a)/(-a)=z/b
とも書ける。

(2)
直線Lを回転したのが図形（曲面）MなのでMは無限に広がった曲面ですね。

図形M（曲面）の方程式：
y=a(1-x),z=bxより
y^2+z^2=(a(1-x))^2+(bx)^2
y^2+z^2=(a^2+b^2)x^2-2(a^2)x+a^2　…(☆)

図形Mとxy平面が交わって得られる図形の方程式
(☆)の式でz=0とおけばよいから

y^2=(a^2+b^2)x^2-2(a^2)x+a^2
(これは双曲線の方程式)

(3)
r^2=(a^2+b^2)x^2-2(a^2)x+a^2
V=π∫[0,1] r^2 dx =π(a^2+b^2)/3
A#1と同じ結果ですね。

なお,直線L（黒線,0≦t≦1の範囲）,曲面M、(2)の方程式（赤線）の図を添付して置きます（図はa=2,b=1の場合です。）求める体積Vはこの図のMの曲面と平面x=0,x=1で囲まれた領域の体積です。

No.1 回答者： yuuyuu9 回答日時： 2011/02/09 00:29

(1)が分かるなら、

y=-ax+a
z=bx
というパラメータ表示の式はたてられていると思います。

(2)
直線Lがｘ軸まわりに回転するという話ですが、
その描く軌跡とx-y平面が交わって得られる図形は、
各ｘの値でy-z平面を考え、ｘ軸からの点L(x)の"距離"を求めて繋いでいけば求まります。
x=tのとき、
y-z平面で考えると、ｘ軸からの点L(t)の距離は(y^2+z^2)^(1/2)←三平方の定理
ご丁寧に(1)でyとzをtの式で表わしているので、代入すれば距離の式が出る。
回転体ということで、もちろんｘ軸対象なので、それも考慮すると、

Ans. y < abs(((a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2)^(1/2)) ※abs()は絶対値


(3)
回転体の体積は各ｘでの円の面積を足し合わせていくと求まる。
よって、さっき出したｘ軸からの距離が半径となるので、
x=tのとき
円の面積=(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2)π
これをx=0からx=1までxについて積分すると

Ans. 体積=π(a^2+b^2)/3



おわり