円に内接する三角形の面積の最大値を求める（偏微分）

　半径１の円に内接する三角形の面積の最大値を偏微分を利用して求める問題です。
　△ABCにおいて、点Aの座標をA（1,0）、点Oの座標をO(0,0)とし、また、∠AOB=α、、∠AOC=β （ただし、0<α<β<2π） とおき、B（cosα , sinα）、C（cosβ , sinβ）としました。
　△ABCの面積Sは、（途中の計算は省略させていただきます。以下も同じ）
　 S={ sinα - sinβ + sin(β-α) }
となりました。ここで、Sをα、βで偏微分すると、
dS/dα = sin(β/2)*sin{(β-2α)/2}
dS/dβ = sin(α/2)*sin{(2β-α)/2}
d(dS/dα)/dα = -sin(β/2)*cos{(β-2α)/2}
d(dS/dα)/dβ = {sin(β-α)}/2
d(dS/dβ)/dβ = sin(α/2)*cos{(2β-α)/2}
となり、
dS/dα = 0
dS/dβ = 0
を満たすα、βを求めると、
　　　 α = (2/3)π 、β = (4/3)π
となりました。
さらに、α = (2/3)π 、β = (4/3)π の時、
d(dS/dα)/dα = -(√3)/2
d(dS/dα)/dβ = (√3)/4
d(dS/dβ)/dβ = -(√3)/2
より、
　　　 { d(dS/dα)/dβ }^2-{ d(dS/dα)/dα }*{ d(dS/dβ)/dβ } = -9/16 < 0
であるから、
　　　 Sはα = (2/3)π 、β = (4/3)π の時に極大値となり、S = 3(√3)/4
ここで、Sがα = (2/3)π 、β = (4/3)π の時に極大値 3(√3)/4をとるが、最大値となるか確かめるために、
　『α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える』
ために、増減表を作成し求めていきました。
しかしながら、
『「α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える」ことで、なぜ極大値が最大値と分かるのか根拠を述べよ』
とご指摘いただき、これに対してどのように答えれば良いのか分からず、困っておるところです。
どなたかアドバイスいただければと思います。よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2011/02/19 06:51

＞「α = (2/3)π とした時のβに対するSの増減及びβ = (4/3)π とした時のαに対するSの増減を考える」ことで、なぜ極大値が最大値と分かるのか根拠を述べよ』

α = (2/3)π とした時、βを変化させるということはBを円周上で動かすことになります。面積が最大になるというのは点Cと直線ABとの距離が最大になるときであり、その位置を外すと面積は減少します。そのへんを説明すればよいでしょう。

この回答へのお礼

spring135様アドバイスありがとうございます。これまで計算上でのみ説明しようと考えておりました。幾何学的に説明することは全く考えておりませんでした。
大変参考になりました。

お礼日時：2011/02/19 16:32