整数解の個数

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質問者：112233445
質問日時：2011/03/08 13:47
回答数：5件

不等式　(x/2)+(y/3)+(z/6)=<10 を満たす負でない整数の解の個数を求めよ

xについて絞り込みを考えて、0=<x=<20,
これで、x=0のとき、x=1のとき、・・・・x=20のとき
と考えれば、個数はわかるが、こんな解法なはずはない。
この種の問題の数え方を教えてください。

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回答 (5件)

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No.3ベストアンサー

回答者： naniwacchi
回答日時：2011/03/08 16:10

こんにちわ。

考え方の一つとして「格子点」で考えるというのもありますね。
(x/2)+(y/3)+(z/6)＝ 10という平面を考えると、
x軸上の点(20, 0, 0)、y軸上の点(0, 30, 0)、z軸上の点(0, 0, 60)を通る平面となります。
この平面と xy平面、yz平面、zx平面で囲まれた立体に含まれている（面上の点も含めて）
格子点の数を数えることになります。

たとえば、x＝ 0とすると不等式は y/3+ z/6≦ 10となります。
yz平面で y≧ 0、z≧ 0、z≦ 2y+ 60を満たす格子点の数を求めます。
以下、順番にやっていくわけですが
おそらく x＝ 2m(偶数)のときと x＝ 2m-1(奇数)のときで場合分けできるのではないかと。

それぞれの場合について求めて、最後に mについて和（Σ）をとれば全部の格子点の数が求められると思います。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
x＝ 2m(偶数)のときと x＝ 2m-1(奇数)のときで場合分け
で考えたいと思います。

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お礼日時：2011/03/08 16:38

No.5

回答者： mister_moonlight
回答日時：2011/03/09 09:27

格子点に関しては、ピックの定理というものがある。

http://kurihara.sansu.org/theory/pic.html

それを使えば解けるんだが、これは高校数学の範囲外だしなぁ。。。。
もつとも、これを直接使うわけではないが、この定理が下敷きになってる入試問題は珍しくない。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
格子点の数で面積をもとめられるのは、意外です。
面積から、格子点の数を求めるという方向ですか

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お礼日時：2011/03/09 10:03

No.4

回答者： nag0720
回答日時：2011/03/09 02:08

別のアプローチですが、

x/2+y/3+z/6≦10
から
z≦60-3x-2y

x,yが決まれば、zの個数は(61-3x-2y)個になるので、
求める個数は、
Σ[x=0...20]{Σ[y=0...(60-3x)/2](61-3x-2y)}
となります。

xが奇数なら(60-3x)/2も奇数なので、xを偶数のときの奇数のときに分けて、

=Σ[x=0...10]{Σ[y=0...(60-3*2x)/2](61-3*2x-2y)}
+Σ[x=1...10]{Σ[y=0...(60-3(2x-1))/2](61-3(2x-1)-2y)}

あとはこれをゴリゴリで計算するだけ。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
z≦60-3x-2y
と変形して、あとは、ｘの奇偶を考えていく
のは見晴らしがよいと思いました
あとは、Σの計算だけど慣れていないとうまく処理できないのではと
思いました

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お礼日時：2011/03/09 07:56

No.2

回答者： mister_moonlight
回答日時：2011/03/08 15:26

整数問題は、時として“数え上げる”事が必要になるにしても、simpleな解法が思いつかない。

10　という数字が邪魔になる。

分母を払うと、3x+2y+z＝2(x+y)＋(x+z)≦60　より　x+z＝b、x+y＝a、とすると　b+2a≦60
0≦a≦30、0≦b≦60　である。
a＝30の時、b＝0　から　1通り。
a＝29の時、b≦2　から　(3＋2＋1)＝6　通り。
a＝28の時、b≦4　から　(5＋4＋3＋2＋1)＝15　通り。
a＝27の時、b≦6　から　(7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)＝28　通り。

最後まで計算してないが、推測すると個数は規則性のある数列(ひょっとして、階差数列？)になるんだろうか？

数え上げる事は到底無理。だから、整数解の個数？