シグマ

Σk^m(kのm乗です。)をｍとｎだけで
ベルヌーイ数を用いずに表せますか？
ちなみにｋは１からｎまでです。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： ryn 回答日時： 2004/06/30 11:58

今は 1≦k≦n なので

　Σk^m = k^1 + k^2 + k^3 + … + k^n
ではなくて
　Σk^m = 1^m + 2^m + 3^m + … + n^m
ですね．

前回のご質問で私が書いた
Σk^1 = { n(n+1)/2 } * { 1 }
Σk^2 = { n(n+1)/3 } * { n + 1/2 }
Σk^3 = { n(n+1)/4 } * { n^2 + n }
Σk^4 = { n(n+1)/5 } * { n^3 + (3/2)n^2 + (1/6)n - 1/6 }
Σk^5 = { n(n+1)/6 } * { n^4 + 2n^3 + (1/2)n^2 - (1/2)n }
Σk^6 = { n(n+1)/7 } * { n^5 + (5/2)n^4 + n^3 - n^2 - n + 1 }
Σk^7 = { n(n+1)/8 } * { n^6 + 3n^5 + (5/3)n^4 - (5/3)n^3 - (2/3)n^2 + (2/3)n }
　　：
の後ろの中カッコ内の多項式は
　１．　(m-1)次の項の係数は　1
　２．　(m-2)次の項の係数は　(m-1)/2
　３．　それ以下の項は２項ごとの係数の和が0
あたりは成り立っていそうです．（あくまで予想ですが）

とすると３番目の条件からmが奇数のときは定数項は0となります．
（２項ずつペアを組んでいくと最後に１項あまるので．）


この中カッコ内に規則性を見出せれば m,n のみで書けるということですが，
これがベルヌーイ数を用いて書けてしまう時点で
m と n のみのあらわな形では書けないかも知れません．

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2004/06/30 10:59

ベルヌーイ数もなにも・・・

高校レベルの、これじゃダメなんでしょうか

Σk^m=k+k^2+k^3+・・・+k^(n-1)+k^n
k・Σk^m= k^2+k^3+・・・+k^(n-1)+k^n+k^(n+1)

引き算して

(1-k)Σk^m=k-k^(n+1)=k(1-k^n)

→Σk^m=(1-k^n)・k/(1-k)