No.1ベストアンサー
- 回答日時:
定数変化法ですね?
まず x"-4x=0 の一般解は
x=Ae^{2t}+Be^{-2t}
なので、A, B を t の関数として、x"-4x = te^{-2t}に代入して整理すると
(A''(t)+4A'(t))*e{2t}+(B''(t)-4B'(t))e{-2t}=te^{-2t}
になります。これから
A''(t)+4A'(t)=0
B''(t)-4B'(t)=t
が出てくるので、これを解くと、
A(t)=C1*e^{-4t} + C2
B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4
となるので、答えは
x(t)=(C1*e^{-4t} + C2)e^{2t}+(C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4)e^{-2t}
= D1*e^{2t} -(8x^2+4x+1)*e^{-2t}/64+D2e^{-2t}
です。(C1,C2,C3,C4,D1,D2 は定数です。)
もっとすんなり解けるかも知れませんが。。。
ざっと解いただけなので検算して下さい。
回答どうもありがとうございました。
だいたいの流れがわかりました。
で、1ヶ所質問なんですが、
A''(t)+4A'(t)=0
B''(t)-4B'(t)=t から、
A(t)=C1*e^{-4t} + C2
B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4
の求め方が分からないんで、おねがいします。
No.2
- 回答日時:
非定数係数2階微分方程式に拡張しましょう。
pをxの関数としqをxの関数としrをxの関数とする。
y”+py’+qy=rをみたすyを示す。
y”+py’+qy=0の一般解をα,βを定数としてαf+βgとする。
fとgはy”+py’+qy=0の解だから
f”+pf’+qf=0・・・(1)
g”+pg’+qg=0・・・(2)
である。
a’f+b’g=0・・・(3)
a’f’+b’g’=r・・・(4)
を満たすxの関数aとxの関数bすなわち
a’=-rg/(fg’-f’g)
b’=rf/(fg’-f’g)
であるaとbについて
z=af+bgはz”+pz’+qz=rを満たす。
根拠:
(3)と(4)により
z=af+bgを微分して
z’=af’+bg’が得られz’を微分して
z”=af”+bg”+rが得られる。
これと(1)と(2)により
z”+pz’+qz=rが分かる。
なお
a(x)=∫(0~x)a’(t)dt
b(x)=∫(0~x)b’(t)dt
でaとbを求めればよい。
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