x"-4x = te^-2t の解き方を教えてください。
特に特殊解の「定数変化法」のやり方を教えてください。
x" はxの2階微分

A 回答 (2件)

定数変化法ですね?



まず x"-4x=0 の一般解は

 x=Ae^{2t}+Be^{-2t}

なので、A, B を t の関数として、x"-4x = te^{-2t}に代入して整理すると

(A''(t)+4A'(t))*e{2t}+(B''(t)-4B'(t))e{-2t}=te^{-2t}

になります。これから

 A''(t)+4A'(t)=0
 B''(t)-4B'(t)=t

が出てくるので、これを解くと、

 A(t)=C1*e^{-4t} + C2
 B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4

となるので、答えは

x(t)=(C1*e^{-4t} + C2)e^{2t}+(C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4)e^{-2t}
= D1*e^{2t} -(8x^2+4x+1)*e^{-2t}/64+D2e^{-2t}

です。(C1,C2,C3,C4,D1,D2 は定数です。)

もっとすんなり解けるかも知れませんが。。。

ざっと解いただけなので検算して下さい。
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございました。
だいたいの流れがわかりました。
で、1ヶ所質問なんですが、

A''(t)+4A'(t)=0
B''(t)-4B'(t)=t  から、

A(t)=C1*e^{-4t} + C2
B(t)=C3*e^{4t}-(8x^2+4x+1)/64+C4

の求め方が分からないんで、おねがいします。

お礼日時:2003/09/23 09:59

非定数係数2階微分方程式に拡張しましょう。



pをxの関数としqをxの関数としrをxの関数とする。
y”+py’+qy=rをみたすyを示す。
y”+py’+qy=0の一般解をα,βを定数としてαf+βgとする。
fとgはy”+py’+qy=0の解だから
f”+pf’+qf=0・・・(1)
g”+pg’+qg=0・・・(2)
である。
a’f+b’g=0・・・(3)
a’f’+b’g’=r・・・(4)
を満たすxの関数aとxの関数bすなわち
a’=-rg/(fg’-f’g)
b’=rf/(fg’-f’g)
であるaとbについて
z=af+bgはz”+pz’+qz=rを満たす。

根拠:
(3)と(4)により
z=af+bgを微分して
z’=af’+bg’が得られz’を微分して
z”=af”+bg”+rが得られる。
これと(1)と(2)により
z”+pz’+qz=rが分かる。

なお
a(x)=∫(0~x)a’(t)dt
b(x)=∫(0~x)b’(t)dt
でaとbを求めればよい。
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございました。

お礼日時:2003/09/30 00:06

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