熱力学の公式(断熱変化における仕事を求める公式)についてですが、指数の変形および積分方法が苦手のため、カテゴリを数学に選択し質問してます。
式1 PV^γ=P1V1^γ
式2 w=∫[1→2]pdv
式3 w=p1v1/(γー1)*(1ー(v1/v2)∧γー1)
式4 式3=p1v1/(γー1)*(1ー(p2/p1)∧(γー1)/γ)
上記式2に式1変形を代入し積分すると式3になります
式3を変形すると式4になります
質問1 式3を導出する過程がわかりません…簡単な積分についてはある程度は出来ますが、指数の扱いが苦手でわかりません
質問2 式3→式4の変形過程がわかりません
わかる方がいましたらご教授願います。
蛇足ですが、最近になり高校数学及び熱力学を勉強していますので、出来るだけ解りやすく説明頂ければ幸です。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.1です.
> →1/V^γ=V^(-γ) となっている理由は、指数法則より 1/a^(-n)=a^nより用いたものと解釈しました。
その通りです.
> W
> = p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
> = p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
> = p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
> →ここで(1-γ)が(-1+γ)と変形しているのはなぜですか?何かの公式を使用しているのでしょうか?
γは1より大きいです.(1 - γ)は負の数になってしまい,気持ち悪いので,(γ - 1)の形が現れるように変形しました.定積分の両端での値を評価してからこの変形を行うと,2個所に同じ変形を施す必要があるため,このタイミングで行いました.別にこんな公式があるってわけじゃなく,
V^(1-γ) = 1/V^(γ-1) (指数法則)
1/(1 - γ) = -1/(γ - 1)
という書き換えを行い,-1/(γ - 1)を[]の外に括り出しただけです.
> →ここで{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}={1 - (V1/V2)^(γ-1)}となるのはなぜでしょうか?
{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}={1 - (V1/V2)^(γ-1)}ではありません.
{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
から因子1/V1^(γ-1)を括り出しているだけです:
{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - V1^(γ-1)/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - (V1/V2)^(γ-1)}
です.
No.4
- 回答日時:
#2です。
テキストだと見づらいかもしれませんので、数式エディタで書いてみました。
3行目から 4行目のところで、( )の中身を入れ替えているので負号が出てきます。
その負号と前にかかっている「-γ+1」を掛け合わせることで、「γ-1」と変形しています。
最後の行で V(2)/V(1)の分母・分子を入れ替えれば、
指数の「-γ+1」も「γ-1」に置き換わります。
同じような文字がいっぱい並ぶので、よく見て計算しないと勘違いしてしまうかもしれません。
No.2
- 回答日時:
こんにちわ。
変数の扱いがあるので、物理カテの方がよかったかもしれませんが・・・
以下、圧力:pは小文字、体積:Vは大文字で統一し、
状態 1や 2は、p(1)や V(1)のように表すことにします。
(式1)より、
p= p(1)・V(1)^γ/V^γ
これを (式2)に代入して
w
= ∫[1→2] p(1)・V(1)^γ/V^γ dV
= p(1)・V(1)^γ ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p(1)・V(1)^γ [ 1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) } ]
= p(1)・V(1)^γ/(γ-1)・V(1)^(-γ+1){ 1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1) }
=(途中くくり出したり、約分したり)
= (式3)
∫x^n dx= 1/(n+1)* x^(n+1)+ C
の式を実数に拡張したものを使っています。
さらに、
p(1)・V(1)^γ= p(2)・V(2)^γより [V(2)/V(1)]^γ= p(1)/p(2)
を代入することで (式4)が得られます。
回答頂きありがとうございます。
わからなかったところおよび、解釈した点を矢印(→)にて追記しましたのでよろしければ再度回答願います。
w
= ∫[1→2] p(1)・V(1)^γ/V^γ dV
= p(1)・V(1)^γ ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p(1)・V(1)^γ [ 1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) } ]
= p(1)・V(1)^γ/(γ-1)・V(1)^(-γ+1){ 1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1) }
→ここで(1-γ)が(-1+γ)と変形しているのはなぜですか?何かの公式を使用しているのでしょうか?
又、1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) }=1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1)と変形しているのはなぜですか
式の変形という基本的質問内容ですが、よろしければ回答願います。
No.1
- 回答日時:
式1より
p = {p1 V1^γ}V^(-γ).
※この式の{}内は定数であることに注意.
これを仕事の式
W = ∫[1→2] p dV
に代入すると,
W
= p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) {1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= p1 V1^γ/{(γ - 1)V1^(γ-1)} {1 - (V1/V2)^(γ-1)}
= p1 V1/(γ - 1) {1 - (V1/V2)^(γ-1)}. (これが式3)
また,式1でp = p2,V = V2のとき
p2 V2^γ = p1 V1^γ
V1^γ/V2^γ = p2/p1
(V1/V2)^γ = p2/p1
∴V1/V2 = (p2/p1)^(1/γ).
これを式3に代入すると,
W
= p1 V1/(γ - 1) {1 - [(p2/p1)^(1/γ)]^(γ-1)}
= p1 V1/(γ - 1) {1 - (p2/p1)^((γ-1)/γ)}. (これが式4)
※式変形はできるだけ省略せずに書いたつもりですが,そのため逆にくどいというか流れが悪くなっています.
回答頂きありがとうございます。
わからなかったところおよび、解釈した点を矢印(→)にて追記しましたのでよろしければ再度回答願います。
式1より
p = {p1 V1^γ}V^(-γ).
→1/V^γ=V^(-γ) となっている理由は、指数法則より 1/a^(-n)=a^nより用いたものと解釈し ました。
※この式の{}内は定数であることに注意.
これを仕事の式
W = ∫[1→2] p dV
に代入すると,
W
= p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
→ここで(1-γ)が(-1+γ)と変形しているのはなぜですか?何かの公式を使用しているのでしょうか?
= p1 V1^γ/(γ - 1) {1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= p1 V1^γ/{(γ - 1)V1^(γ-1)} {1 - (V1/V2)^(γ-1)}
→ここで{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}={1 - (V1/V2)^(γ-1)}となるのはなぜでしょうか?
式の変形という基本的質問内容ですが、よろしければ回答願います。
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