ついに夏本番!さぁ、家族でキャンプに行くぞ! >>

はじめまして。
どなたか下の式の○と△を教えてください!

A*sin(w(t)) - B*sin(w(t)+S) = ○*sin(w(t)+△)

加法定理かなんかを見ていけば分かるのかも知れませんが、忘却の彼方です。。。
ズバっとお教えいただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

我慢して(苦笑)加法定理とか三角関数の合成なんかを行ってみます.



A sin w(t) - B sin{w(t) + S}
= A sin w(t) - B{sin w(t) cos S + cos w(t) sin S}
= (A - B cos S)sin w(t) - (B sin S)cos w(t)
= √{(A - B cos S)^2 + (B sin S)^2} sin{w(t) + Δ}
= √(A^2 + B^2 - 2 A B cos S) sin{w(t) + Δ}.

ただし,Δは
cos Δ = (A - B cos S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S),
sin Δ = -(B sin S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S)
を満たすものです.

# よく教科書なんかに載ってる,arctanを使った公式を用いて,
Δ = arctan{-(B sin S)/(A - B cos S)}
とすると,cos Δ < 0のときに痛い目を見ますんで,上のように表しておいたほうが無難でしょう.

慣れると,添付図のようなベクトル図を使って計算できます.
「三角関数 正弦波の足し算について」の回答画像1
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この回答へのお礼

早々にご回答いただいておりましたのに、お礼が遅れまして申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/29 12:16

> A*sin(w(t)) - B*sin(w(t)+S) = ○*sin(w(t)+△)


   ↓ 文字の書き変えだけ
 A*sin(T) - B*sin(T+S) = C*sin(T+d)

この形なら二点等置でいけそう。

たとえば、
 T = 0 → - B*sin(S) = C*sin(d)    …(1)
 T = π/2 → -A - B*cos(S) = C*cos(d)  …(2)
の二式連立。
 (1)/(2) → tan(d) = B*sin(S)/{A + B*cos(S)}
 (1)^2 + (2)^2 → C~2 = {B*sin(S)}^2 + {A + B*cos(S)}^2

C~2 から C を出すとき、正負符号に注意がいるかな?
   
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
前の方のご回答も合わせて自分なりに確認してみます。

お礼日時:2011/04/29 12:18

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Q正弦波の足し算

周波数Fの正弦波があったとき、
周波数Fの正弦波 + 周波数3*Fの正弦波は上下対称な波形になりますよね。
それなのに、
周波数Fの正弦波 + 周波数2*Fの正弦波は上下対称な波形にならないのは、どうしてでしょうか。

加法定理など使えば証明できそうのですが、
いまいちできません。
簡単な疑問だと思うのですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

いまf=1/(2π)とします.
(以下の話を,私にとって簡単にするため)

こうすると信号は
y1=sin t
y2=sin 2t
y3=sin 3t
です.

t 0 π/2 π 3π/2 2π
y1 0 + + 0 - - 0
y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0


t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π
y1 0 + 0 - 0
y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0

表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います.

式としては
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ
を用いると求まります.
α+β=3t,α-β=tとすると
α=2t,β=tなので
y1+y3=2sin 2t× cos t・・・(1)
となります.

もう一方は
α+β=2t,α-β=tとすると
α=3t/2,β=t/2なので
y1+y2=2sin 3t/2 × cos t/2・・・(2)
となります.

おっしゃるような上下対称というのは,この場合,時間をπ動かすと時間0からと符合が異なる.つまり信号をf(t)とすると

f(t+π)=-f(t)・・・(3)

という意味だとすると,

(1)の場合

2sin 2(t+π)× cos (t+π)=-2sin 2t× cos t

で上下対称となります.

(2)の場合

2sin 3(t+π)/2 × cos (t+π)/2=-2cos 3t/2 ×sin t/2

となり,異なる波形になります.

以上でお分かりになられたでしょうか?

いまf=1/(2π)とします.
(以下の話を,私にとって簡単にするため)

こうすると信号は
y1=sin t
y2=sin 2t
y3=sin 3t
です.

t 0 π/2 π 3π/2 2π
y1 0 + + 0 - - 0
y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0


t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π
y1 0 + 0 - 0
y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0

表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います.

式としては
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ
を用いると求まりま...続きを読む

Q正弦波の合成

誠に恐縮ですが

同じ正弦波が 2個あって、ひとつを 90度遅れの位相で 合成したとき、得られる波形は 正弦波でしょうか?
それとも、「ひとこぶらくだ」のように 崩れる?

よろしくどうぞ

Aベストアンサー

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦波を加算した場合、
・位相のずれはδ/2(中間の位相)で
・振幅は2cos(δ/2)倍
の正弦波になります。今回の質問(位相差90度)の場合は、結果は「45度遅れて位相が√2倍の正弦波」です。

計算は省きますが、もうちょっと一般化すると、
「同一周期」で、位相・振幅の異なる正弦波を加算した場合、その結果も正弦波になります。

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦...続きを読む

Q三角関数の足し算

三角関数をたくさん足し合わせたときの公式ってないでしょうか?
つまり
sin(w1*t)+sin(w2*t)+sin(w3*t)+sin(w4*t).....の公式です

Aベストアンサー

例えばこんな公式があります
  Σ[k=1~n]{sin(k*x)} = {cos(x/2)-cos((2n+1)x/2)}/(2*sin(x/2))
  Σ[k=1~n]{cos(k*x)} = {sin((2n+1)x/2)-sin(x/2)}/(2sin(x/2))

導き方は、
  S(x) = Σ[k=1~n]{sin(k*x)}
として、両辺にsin(x/2)を掛けて
  S(x)*sin(x/2) = Σ[k=1~n]{sin(k*x)*sin(x/2)}
積和の公式より右辺は
  S(x)*sin(x/2) = Σ[k=1~n]{(cos((2k-1)x/2)-cos((2k+1)x/2))/2}
         = {cos(2/x)-cos((2n+1)x/2)}/2
両辺をsin(x/2)で割って
  S(x) = {cos(x/2)-cos((2n+1)x/2)}/(2*sin(x/2))

Σcos(kx)の方も同様に導けます。

Q同じ周波数の波の重ね合わせ後の周波数は??

同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?

ご存知の方がいましたら教えていただけないでしょうか?
できれば理由も教えてほしいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?

「線形加算」でしょうから、
  a*cos(ωt) + b*cos(ωt + φ)
  = a*cos(ωt) + b*{cos(ωt)cos(φ) - sin(ωt)sin(φ)}
  = A*cos(ωt) - B*sin(ωt)
などと変形。
 : A = {a+b*cos(φ)}, B = b*sin(φ)。

あとは、おなじみの「余弦波合成」。
  A*cos(ωt) - B*sin(ωt) = √(A^2+B^2)*cos(ωt + θ)
  : θ= arctan(B/A)

…と振幅・位相が変化。周波数は変化せず。
    

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Q電圧の実行値と平均値の違い

よく使われるのは実行値で最大値のルート2分の1というのはわかっているのですが
なぜ、実行値が一般的によく使われるのでしょうか?
または、平均値がなぜあまり使われないのでしょうか?

ご存知の方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.1の方が仰るように交流の一周期分を平均したらゼロになってしまいます。それでは不便なので交流で「平均値」と言ったら一般には瞬時電圧V(t)や瞬時電流i(t)の絶対値の平均を取ります。高さ1の正弦波の平均値を計算すると2/π=0.637になります。
一方、実効値(rms)は「ルート・ミーン・スクエア」ですから、瞬時電圧V(t)や瞬時電流i(t)を2乗して1周期分平均してから平方根を取ります。実効値の場合、2乗するので負側が折り返されて交流でもゼロになりません。高さ1の正弦波の実効値を計算すると√2=0.707になります。正弦波の場合には実効値は平均値の0.707/0.637=1.11倍です。
これだけですと平均値を使えば十分で、わざわざ2乗平均を使う「実効値」を持ち出す必要が無いように思われるかもしれません。実効値が使われる理由は、抵抗負荷Rが消費する電力Pが、P=R・(I^2)、或はP=(V^2)/Rで求められる、ということに由来します。

例えば前半が高さ0、後半が高さ1の方形波があったとします。この方形波の平均値は0.5です。
一方、実効値は、2乗して周期の前半は0、後半は1。これを1周期分平均して0.5。平方根を取って0.707です。
即ち1V(1A)でDuty50%の方形波電圧(電流)の平均値は0.5V(0.5A)、実効値なら0.707V(0.707A)となります。
この方形波を1Ωの抵抗に加えた場合の消費電力を考えてみてください。前半の0Vの期間は0Wです。後半の1V/1Aの期間は1Wですから、平均電力は0.5Wです。0.707V x 0.707A = 0.5Wですから、電力は電圧と電流を夫々実効値で考えた場合と一致します。実効値を計算する際に2乗を使うのは、後で電力を計算することを想定しているから…とも言えます。
このように、実効値という考え方は、電圧と電流が比例する場合、即ち抵抗負荷の場合にだけ役に立つ考え方です。ヒューズの容量を考えるような場合には、ヒューズは抵抗に近いですから、実効値の考え方は有用です。しかし定電圧電源の容量を考えるような場合には、電圧と電流が比例しませんから、実効値の考え方が役に立つ場合は限られます。

No.1の方が仰るように交流の一周期分を平均したらゼロになってしまいます。それでは不便なので交流で「平均値」と言ったら一般には瞬時電圧V(t)や瞬時電流i(t)の絶対値の平均を取ります。高さ1の正弦波の平均値を計算すると2/π=0.637になります。
一方、実効値(rms)は「ルート・ミーン・スクエア」ですから、瞬時電圧V(t)や瞬時電流i(t)を2乗して1周期分平均してから平方根を取ります。実効値の場合、2乗するので負側が折り返されて交流でもゼロになりません。高さ1の正弦波の実効値を計算すると√2=0.707になりま...続きを読む

Q直流電動機の無負荷時回転速度

直流電動機が無負荷時、電機子電流がゼロになり回転速度が上昇する。
n=V-Ri/KΦよりその事が分かるのですが、そもそも無負荷時に電機子に電流が流れないのはなぜか?
そして電機子電流が流れないなら電機子がなぜ回転するのか?という疑問が解決できません。
どなたかお教えください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

無負荷の時には、トルクが理想的には0になります。(実際には、軸受けの摩擦や風損があるので、一定速度で回るためにその分のトルクを発生していますが)
電動機の電機子電流は、このトルクに関係しています。(トルクに比例)

結果、無負荷で一定回転数で運転しているときには、電機子電流がほぼ0(実際には無負荷損失相当の電流)になります。

上記のように無負荷で電機子電流が0になるのは、加速が終了して一定回転数になってからです。加速の途中では、それなりに電流が流れます。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

Q卒業検定に落ちた人!

卒業検定に落ちた人!
(ペーパー試験じゃなくて、実技の方)

どの理由で落ちたか教えてください。
あと10日程で、卒業検定です。
参考にさせてください。

Aベストアンサー

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返しで
抜けられるところ,未熟なため列から抜け出せず
全員が100点原点で不合格になった(実話ですよ)

ポイントは状況判断ミスと走行不能による検定中断になったため
一般的なことは皆様書かれているようなことで
おそらく,質問者様もある程度予測できていることも
あると思います
上のような,予測不可能な事態に巻き込まれたとき
如何に判断して抜け出せるかだと思います

運とか,こういう場面に出くわす確立とか
ありますが,平常,冷静を保つことが大事です!!

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返し...続きを読む


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