量子力学 共役演算子がわからない

量子力学でノートを見返していました。
ダガーやブラケットが出てきますが、概念がいまいちわかりません。
というか何がわからないのかすらわからなくて困っています。

１．<a|b>=<b|a>∗
ひっくり返すと共役複素数になるのはわかるのですが、実際どんなことを言っているのかが・・・
２．A^|a>=<a|A^
も同じくです。
３．共役というのとエルミートというのは同じことをいっているのでしょうか？？
４．ダガーとはいったいなんなのでしょうか？
５．<a|A^|a>=<a|A^+|a>*というのは１．の性質を使っているのだろうとは想像できるのですが、どうしたらこの等式が成り立つのかがわかりません。

６．O^|a>=b|b>の共役が<b|O^+=b*<b|
７．O＾† = -O^
８．共役演算子の性質として
<f|A^|g>=<g|A^†|f>*が成り立つので、

（αA^）† = α*A^†
(A^+B^)† =A^† + B^†
(A^B^)† =B^† + A^†
（A†）†＝A＾
が成り立つとあるのですが、どれもなんでこうなるのかがいまいちわかりません。

いっぱいあるのですが、根本からわかっていないので、説明があると助かります。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mahlergstav 回答日時： 2011/04/28 16:48

数式に振り回されすぎていると思います。

量子力学は、古典力学、電磁気学等がわかっていないと、全く理解できません。

波動関数a>そのものは、観測できるものではないという前提で、シュレディンガーの波動方程式が組み立てられています。観測できるものでない、と言い切ってしまうと自然科学になりません。そこで、波動方程式の絶対値の二乗が密度に相当して、それが観測できるということで、自然科学として成立します。

a>の絶対値の二乗は、<a|a>ですから、共役という概念がでてきます。波動方程式の両辺に左から共役な波動関数<aを掛け算したものは、電磁気学のガウスの発散定理や古典的な拡散方程式と同じになって、普通の物理学のイメージと合ってきます。

こんな説明では、何がなんだか分からないかもしれませんが、波動関数a>で見るのではなく、<a|a>だとどうなるかという視点で見れるようになると、普通の自然現象のイメージと対応がつき、難解な数学的表現もわかるようになると思います。そのためには、古典力学等を理解する必要があります。

イメージは自分で作らないと、数式ばかり見ていても、永遠にわかりません。永遠にわからなくても良いのです。それが普通ですから。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/07/10 22:34

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/04/25 23:54

量が多いので基本だけ。

面倒なので1次元で書くと

>１．<a|b>=<b|a>∗

は

<b|a> = ∫b* a dx

という定義なのでその複素共役を取ると

(<b|a>)∗ = ( ∫b* a dx)* = ∫b a* dx = ∫a* b dx = <a|b>

つまり、複素共役を取るとブラとケットが入れ替わる。

＞５．<a|A^|a>=<a|A^+|a>*というのは１．の性質を使っているのだろうとは想像できるのですが、どうしたらこの等式が成り立つのかがわかりません。

これはエルミート共役の定義で、†であらわします。一般に

<b|A^|a> = ∫b^* A^ a dx = <b | Aa>

という定義。いっぽう、この定義から

(<a|A†|b>）* = ( ∫a^* A† b dx )* = ∫a A†* b* dx = <A† b | a>

となるので、

<A+^ b | a>＝<b | Aa>

となる演算子A†をエルミート共役と定義します。

また、A†＝Aである場合にこの演算子をエルミート演算子といい、

<Ab | a>＝<b | Aa>

が成り立ちます。

エルミート演算子は固有値が実数であることが証明でき、観測可能な物理量(オブザーバブル)はエルミート演算子で記述されることが要請されます。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/07/10 22:34