ｎ角形の対角線の数

ｎ（ｎ-３）／２という公式？はわかりますが、何故「必ず」÷２となるのかを説明してください。

要するにＷっているので数えないようにする対角線の数が必ず１／２となる理由が理解できないのです。

よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/30 08:50

たとえば、五角形ABCDEで考えてみましょう。

Aから引ける対角線の数は、ACとADだけです。
AAは線ですらない。ABは対角線ではなく辺。AEも対角線ではなく辺。
よって、Aから引ける対角線の数は、5(＝頂点の数)－3(自分自身＋隣の頂点×2)＝（n－3)です。

それを、5つの頂点すべてで数えるので、n(n－3)です。

ここで、Cから引ける対角線を考えてみます。

Cからは、CEとCAです。
でも、AからCに引いたACと、CからAに引いたCAは、ダブりますよね。

AからDに引いたADと、DからAに引いたDAも、ダブります。

どこからどこに引いても、必ず逆の方向で引いた対角線とダブります。

だから、n(n－3)を2で割るのです。

＞Ｗっているので数えないようにする対角線の数が必ず１／２となる理由が理解できないのです。

ダブルことは理解できているのでしょうか？
ダブルということは、本来の本数の2倍になるということなのですが、それは理解していますか？

この回答へのお礼

変な先入観がありました。よく考えたら対角線はすべてWりです。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/05/30 09:35

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/05/30 00:15

公式の各部分の意味を考えると、

（ｎ－３）：ある頂点から、自分自身と隣の頂点以外に対角線を引くことができる
ｎ：頂点の数がｎ個あるので上記をｎ倍する

ここで頂点Ａから出発する対角線のうち、例えば頂点Ｃに向けて引いた対角線は、頂点Ｃから出発する対角線のうち頂点Ａに向けて引いた対角線と同じものですね。全ての頂点について同じことがいえるので、ｎ（ｎ＋３）だけでは全ての対角線をダブルカウントしていることになります。

この回答へのお礼

よくわかりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/05/30 09:36

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2011/05/30 00:01

こんにちは。

頂点Ａと頂点Ｃの間を線で結ぶとき、
ＡからＣに向かって線を引くのと、ＣからＡに向かって線を引くのとでは、
引き方は違いますが、同じ対角線ですよね。

言い換えると、ダブらないように、２つから１つを選ぶ組み合わせの数（2Ｃ1＝２）で割るということです。

この回答へのお礼

よくわかりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/05/30 09:37