ガロア体についての質問です

f(x)=x^3+x+1を原始多項式として、その根のαを用いてGF(8)の加算表、乗算表を求める問題です。

原始多項式より、
α^3=α+1
α^4=α^2+α
α^5=α^2+α+1
α^6=α^2+1
α^7=1

と求めました。
此処で質問ですが、加算表や乗算表を作る際、α^4、α^5、α^6が出てきますが、
GF(8)={0,1,α,α^2,α^3}
なので、α^4、α^5、α^6は使えません。
この場合、α^4、α^5、α^6はどのように表に記せば良いのですか？

No.3 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/07/18 20:27

>つまり、GF(8)={0,1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6} ということでしょうか？

そこで「原始多項式」とは何か、という話になるわけですよ。

この回答へのお礼

そういう事でしたか
回答ありがとうございます

お礼日時：2011/07/19 02:23

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2011/07/18 11:02

>GF(8)={0,1,α,α^2,α^3}

>なので、α^4、α^5、α^6は使えません。

なんで？
GF(8)の要素数がおかしいのはすでに指摘されているけど
α^4、α^5、α^6
だって，GF(8)の要素なんだから
表にいれてはいけないなんてルールはないでしょう？
表には「重複・不足」がなければいいのでは？
表記にはもっともシンプルなものを使うほうがよいのでは？

ちなみに，GF(8)の0以外の要素は巡回群だから
この表記は正当化される

この回答への補足

すみません。
ガロア体についてはまだ深く理解していませんでした。

α^4、α^5、α^6を表記しても間違えではないんですね。

補足日時：2011/07/18 17:37

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/07/18 07:01

> GF(8)={0,1,α,α^2,α^3} なので

GF(8) は位数 8 の有限体なんだよね？

この回答への補足

つまり、GF(8)={0,1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6}
ということでしょうか？

補足日時：2011/07/18 17:42