加法定理の証明について

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sanka …
こちらのサイトにある加法定理の証明について教えてください

最初の余弦定理より～っていうところは分かるのですが
その後の線分PQの長さを座標成分を用いて表すとという部分がわかりません
形的に三平方の定理からとは思いますが
例えば直角三角形の斜辺の長さなら分かりますが、PQって別に直角三角形の斜辺部分でもないですし
ましてやOPQは直角三角形じゃないですよね

なぜPQの長さがこのように表せられるのか教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： eco1900 回答日時： 2011/07/21 10:31

続きです。

どぞ。

・・・見にくくてごめんね。

この回答へのお礼

すみません。お礼が遅れました。
わざわざ分かりやすい解説画像まで載せていたいだいてありがとうございます。

お礼日時：2011/08/13 20:08

No.5 回答者： eco1900 回答日時： 2011/07/21 10:24

質問からして、どうも二点間の距離の求め方は分かっているけれど・・・

点Pの座標の表し方が、分からないのかな？

つまり、もしかして…次の部分が分からないってことかな？
座標平面上の任意の点Pの座標が、どうしてP(conθ, sinθ)となるのか？
一応、上の疑問というつもりで回答しておきますね。誤解ならごめんね。

あと・・・画像はどうしても一枚にまとめると縮小されて表示されるみたいなので分けて添付しておきます。

それでは、まず、図をみながら読んでみてください。

今、座標平面上の任意の点Pがありますね。
この任意の点Pの座標は、取りあえず分からないので、P(x，y )としておきますよ。

この点と原点を結んで、Pよりx軸に降ろした足をHとしておきます。
→【図１】参照

次に、原点Oを中心とし点Pを通る円を追加します。
この時、∠POH=θと考えます。
→【図２】参照

あとは、△POHに着目して三角関数を示してみましょう。
つまり・・・ここからは、画像内を参照してくださいね。

No.4 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/07/21 06:12

ほかには複素平面や行列を利用した証明もありますな。

No.3 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/07/20 21:35

これは平面上の２点間の距離

２点A(x1,y1),B(x2,y2)の距離は
AB=√{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}
で求められるので
それを使っています

この式は点A,点Bから垂線をおろして直角三角形を作れば三平方で求められます

No.2 回答者： Kules 回答日時： 2011/07/20 21:31

Pをとおってy軸に平行な直線と、Qをとおってx軸に平行な直線との交点をRとすると、

三角形PRQは直角三角形になります。
そして、PRの長さはsinβ-sinαになり、QRの長さはcosβ-cosαになるので、
三平方の定理によりPQの長さをあのように表すことができます。

参考になれば幸いです。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/20 21:30

A(a,b),B(c,d)間の距離ABは

AB=√{(a-x)^2+(b-d)^2}
となります。

これは、Aを通りx軸に平行な直線とBを通りy軸に平行な直線の交点をCとすると
C(c,b)
となり、△ABCが∠C=90°の直角三角形になりますので
AB^2=(A-C)^2+(B-C)^2=(a-c)^2+(b-d)^2
となることからわかります。
(上記の証明ではa=cまたはb=dの場合には直角三角形が出来ないため別途確認が必要となるがここでは省略します)