開区間、閉区間について

というか主に閉区間のことなのです
閉区間で連続だと最大値、最小値があると教科書には書いてあるのですが、それの理由が分かりません
それと同じように開区間だと最大値、最小値があるとは限らないというのも分かりません

できればイメージ的にわかるように教えてください

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/07/29 22:15

念のために

>閉区間で連続だと最大値、最小値があると教科書には書いてあるのですが、
>それの理由が分かりません


証明が理解できない、ということですか？

この回答への補足

いい忘れてましたが高校生です。

たぶん証明とは違うとは思うのですが・・・。
教科書でも証明とかは書かれずにさらっと出てきた感じでした。

私の認識としては
開区間では定義域外に最大最小の値がある可能性があるので最大最小値を求められるとは限らないとかそんなざっくりとした感じなのですが大丈夫でしょうか？
ただ、連続という条件が必須であることもいまいち分かりません

補足日時：2011/07/30 00:04

No.2 回答者： notnot 回答日時： 2011/07/29 23:05

＞閉区間で連続だと最大値、最小値があると教科書には書いてあるのですが、それの理由が分かりません

連続の定義がわかれば、自明です。連続の定義をε-δでちゃんと理解していますか？

＞それと同じように開区間だと最大値、最小値があるとは限らないというのも分かりません

これがわからないというのがビックリ。x ∈(0,1) で f(x)=x の最大値・最小値が無いです。

この回答への補足

すみません。
高校生でε-δ論法などは習ってないので、厳密な定義とかを理解してるわけではありません。
その上でイメージとして曖昧でもいいので理解したいと思い質問させてもらいました。

補足日時：2011/07/30 00:06

No.3 回答者： notnot 回答日時： 2011/07/30 00:40

失礼しました。

高校生か。

まず、No2で書いたように開区間だと、最大値最小値が無いケースがあるというのはいいでしょうか？
端っこがあれば最大値だけどという関数において、端っこが定義域じゃないので、最大の値が無い。

閉区間であっても、連続でなければ、
定義域を[0,1]として、
f(x)= x ; 0<= x <1
f(1)= 0
という関数だと最大値がありません。開区間のケースと同じ。

連続だと、こういうことがありません。

イメージ的にと言う事だと、これくらいかな。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
連続でなければいけない理由と、開区間では必ずしも最大値・最小値が存在するとは言えないという理由がよく分かりました。

お礼日時：2011/08/05 02:16

No.4 回答者： graphaffine 回答日時： 2011/07/30 00:55

高校レベルでは、連続性に関して厳密な議論をするには道具立て(ε-δ論法、実数の定義、位相の話など)が不足しています。

１　fを連続関数、Aを閉区間とします。このとき、B=f(A)={f(x)|x∈A}は閉区間となり、Bは最小値、最大値を持ちます。
上記は、イメージレベル(厳密性を問わない直感的なレベル)の話になります。

２　開区間上の連続関数が最小値、最大値を持たない例
f(x)=tan(x)は開区間(-π/2,π/2)上で、最小値、最大値を持たない。
こちらは、高校レベルでも大丈夫ですので、確認してみてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： graphaffine 回答日時： 2011/07/30 01:05

#4を補足します。

1で、もしf(x)が連続でないならば、最小値或いは最大値が存在しない場合が有ります。
その例　閉区間[0,1]上の関数f(x)が、f(0)=0、f(x)=1/x(x>0のとき）で定められている場合。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
連続じゃないとその時点でグラフが途切れてるので、最小値あるいは最大値が存在しない場合があるんですね。

お礼日時：2011/08/05 02:17