
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
tessさん、こんにちは。
速度のx成分がAy、y成分が0なので、∫c v・dl = A∫c y(x)dx
となります。ここで∫cは閉曲線Cに沿っての線積分、y(x)は曲線上でx座標がxのときのyの値を表わします。曲線CがX軸と点(a,0)と(b,0)で交わるとし(a<b)、X軸より上側の面積をS1、X軸より下側の面積をS2とします。線積分は反時計回りの方向に積分しますので、X軸より上側の曲線をC1とすると
∫c1 y(x)dx
= ∫[b~a] y(x)dx = -∫[a~b] y(x)dx = -S1
X軸より下側の曲線をC2とすると
∫c2 y(x)dx
= ∫[a~b] y(x)dx = -S2 (yがX軸より下にあるため)
これを合わせると曲線が囲む面積をSとしたとき
∫c y(x)dx = -S
ところが、この曲線は半径Rの円なので積分を計算するまでもなく
∫c v・dl = -AπR^2
一般には他の方が回答されているように計算する必要があります。
この回答へのお礼
お礼日時:2003/11/16 18:40
お世話になります。
ありがとうございます。
今、流体力学でこのような式がいっぱいでてきてぱにくっています。
ほんとうにすみませんでした。
No.2
- 回答日時:
じゃ,私はストークスの定理を使う方法を.
ストークスの定理は
(1) ∫_C (→v)・d(→l) = ∫_S rot(→v)・d(→S)
です.
(→v) はベクトルvのつもり.
S は(1)の左辺の閉曲線 C を縁とする面で,
今は半径 R の円と思えばいいのです.
∫_S はその面についての面積分の記号.
(→S)は今の円に垂直な方向で,(1)左辺の線積分方向と右ねじ関係になるようにします.
つまり,今の話では(→S)は z 方向.
(2) rot(→v) = (0,0,-A)
ですから,(1)の右辺は
(3) -A ∫_S dS = -AπR^2 (積分は円の面積になっている)
となります.
めでたく ElectricGamo さんのご回答と同じ結果になりました.
No.1
- 回答日時:
経路C上ではy=Rsinλですよね。
ですので経路Cでは速度はv=(ARsinλ,0,0) で、dr/dλ=(-Rsinλ, Rcosλ, 0) なので、非積分関数はv・(dr/dλ)=-AR^2(sinλ)^2
です。これを積分したのが循環なので
k=∫_0^{2π}v・(dr/dλ)dλ
=∫_0^{2π}-AR^2(sinλ)^2dλ
=-AR^2[x/2-1/4×sin2x]_0^{2π} = -πAR^2
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