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- 回答日時:
質問内容をきちんと定義すると、n 次の多項式は、n 個の(1次式で表される)因数に分解できるか? ということでいいですか?
これは、複素数の範囲では正しいですというのが、まずは、回答です。
たとえば、(x^2 + 1) は、実数の範囲では因数分解できません。
これは、「代数学の基本定理」というものと、因数定理で説明できる内容です。
代数学の基本定理は、「n 次の複素係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ」という定理です。
(証明はちょっとやっかい)
平たくいえば、n次式=0と置いた方程式は、(複素数の範囲まで広げれば)必ず解を持つという意味です。
一方で、因数定理は高校で出てくると思いますが、
n次式 = 0 と置いた方程式が、x = a を解として持つなら、この n 次式は (x - a) という因数を持つという定理です。
これを併用して、
n次式 = 0 とおいた方程式は必ず解を持つ。それを、a とおく
n次式 = (x - a)(n - 1次式)と因数分解できる。
n - 1次式 = 0 とおいた方程式は、必ず解を持つ。それを、b とおく。
n - 1次式 = (x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。
最初から見れば、
n 次式 = (x - a)(x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。
これを繰り返すと、n 次式が n 個の因数に分解できることがわかります。
もうすこし厳密に証明しようとすれば、数学的帰納法で、
1次式は1個の因数を持つ。
n-1次式が必ずn-1個の因数を持つと仮定すると、
n次式は、(上述のないようから) (x - a)(n - 1次式)に因数分解できる。
仮定より、n - 1次式は、必ず、n - 1個の因数を持つから、n次式はn個の因数を持つ。
という論法になります。
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