No.1ベストアンサー
- 回答日時:
考えることは、何ひとつ無い。
定義に従い、黙々と計算しよう。
(x,y) の変域を S、
S の x=x0 での断面を Sy(x0) = { y | (x0,y)∈S }、
S の y=y0 での断面を Sx(y0) = { x | (x,y0)∈S } と置く。
また、x, y それぞれの変域を
Dx = { x | ∃y, (x,y)∈S }、
Dy = { y | ∃x, (x,y)∈S } と置く。
E(x+y) = ∬[(x,y)∈S] (x+y) f(x,y) dx dy
= ∬[(x,y)∈S] x f(x,y) dx dy + ∬[(x,y)∈S] y f(x,y) dx dy
= ∫[x∈Dx] ∫[y∈Sy(x)] x f(x,y) dy dx + ∫[y∈Dy] ∫[x∈Sx(y)] y f(x,y) dx dy
= ∫[x∈Dx] x { ∫[y∈Sy(x)] f(x,y) dy } dx + ∫[y∈Dy] y { ∫[x∈Sx(y)] f(x,y) dx } dy
= ∫[x∈Dx] x fx(x) dx + ∫[y∈Dy] y fy(y) dy
= E(x) + E(y).
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