恒等式について教えてください

【問題】
a,bを実数とする。ただしa>0、a≠1

２曲線
y=log(a)bx
y=a^x+b

が直線y=x+2上で整数を座標にもつ２点で交わるとき、a、bの値を求めよ


……………………………


自分は交点のx座標をm、n(m、nは任意の整数かつm≠n、真数条件よりm>0、n>0)とおき
２交点を(m,m+2)、(n,n+2)と設定し

・log(a)bm=a^m+b=m+2
・log(a)bn=a^n+b=n+2

という関係式から

a^2(m+n+4-2b)=b(m+n)

という関係式を導き出し 、これは恒等式だろと思い

(a^2-b)m+{(a^2-b)n+2a^2(2-b)}=0

とし、mとnについての恒等式から

a^2-b=0
2-b=0

よってb=2、a=√2(∵a>0)

と出て
解答を見たら答えはあっていました


けれど、一番初めに『m、nは整数…』などとm、nに縛りを与えておきながら、通常なら『全ての実数において』なりたつ恒等式を使っているのはおかしいんじゃないか？と思いました

ところで、解説はやはり恒等式ではない解き方でした。


やはり自分解法は間違いでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/21 01:20

間違い。

答えが当たったのは、偶然でしょう。
交点の座標を m, n で置いたのだから、
m, n は未知数(未知の定数)であって、
変数ではありません。
よって、その式は方程式であって、
恒等式ではありません。
この間違いは、m, n が整数値か実数値かではなく、
定数か変数かの違いから生じています。
答案に「恒等式」と書いた時点で 0 点でしょう。

この回答へのお礼

ですよね

ありがとうございます

お礼日時：2011/10/21 01:29

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/10/21 01:12

当然「恒等式」とはいえない.

整数 n に対して sin nπ = 0 だけど, n を実数とすると恒等式にはならないよね.

この回答へのお礼

ですよね

ありがとうございます

お礼日時：2011/10/21 01:29