２直線の交点の軌跡は、判別式を用いて求められますか

mが実数全体を動くとき、次の２直線の交点Pはどんな図形を動くか。
(1)　mx - y = 0 　　　(2) x + my - m - 2 = 0

という問題について、解説ではmを消去する方針で、(1)からm = y / x　を導き、(2)に代入しています。

ですが、たとえばyを消去する方針で、(1)からy = mxを導いて(2)に代入して
x + m^2x - m - 2 = 0 とし、これをmについてまとめて、xm^2 - m + x -2 = 0とした場合、
この式は(1)と(2)を同時に満たす式となり、判別式D = 0となるとき１つの交点をもつ、というように解くことはできないのでしょうか？

ちなみに、これを解くとD=0より4x^2 - 8x - 1 = 0となり、解答（x-1)^2 + (y-1/2)^2 = 5/4とは全く異なってしまうので、間違った解き方だということはわかるのですが、なぜこの解き方では解答に辿りつけないのかがわかりません。

判別式をここで持ち出すこと自体、おかしいのでしょうか？
変な質問ですが、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/03/05 21:43

＞判別式D = 0となるとき１つの交点をもつ、というように解くことはできないのでしょうか？

なぜ、「１つの交点」なのでしょうか。
xm^2 - m + x - 2 = 0
を満たすmが２つあっても何の問題もありません。

「この式は(1)と(2)を同時に満たす式となり、判別式D ≧ 0となるとき交点をもつ」
と解釈すれば、
D = 1 - 4x(x - 2) ≧ 0
4x^2 - 8x - 1 ≦ 0
4(x - 1)^2 ≦ 5
(x - 1)^2 ≦ 5/4
となって、解答（x-1)^2 + (y-1/2)^2 = 5/4　と似た式が出てきます。


この解法を続けるとしたら、解の公式を使って、
m=(1±√D)/(2x)
これを元の直線の式に代入して整理すれば、本来の解答に辿りつけます。

この方法でできないこともないけれど、２直線の式からmを消す方法と較べると、無駄に複雑にしています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞なぜ、「１つの交点」なのでしょうか。

自分で解いていた時は、２直線の「交点」を求めるからD=0だと思い込んでいたのですが、そもそもこの判別式はmが実数かどうかの判別をするものだから、D≧0なのですね。
勘違いしていました。

＞(x - 1)^2 ≦ 5/4　となって、解答（x-1)^2 + (y-1/2)^2 = 5/4　と似た式が出てきます。

これには、全く気がつきませんでした！
ということは、これはyを消去したために、mが実数となる時のxとの関係性しか表していませんが、解答の方針ではmを消去するためにxとyの関係式が一発で出てくるんですね。。

すっきりしました！
まだまだ軌跡の問題に不慣れで、こんな手こずった解き方をしてしまいました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/03/06 17:18

No.2 回答者： Think_over 回答日時： 2012/03/06 09:12

解説書をよく読み込んで下さい。

解説者の気持ちをくみ取らないと、ガッテンしにくいかもしれません。数学はサボりの精神があることも付け加えておきます。あなたの発想でも解けますしかしNo１さんが言うように遠回りです。目標を心に抱いて、道具を駆使して解かないと迷子になります。
Ｎｏ１さんの言うようにｍを解いてｘ，ｙで軌跡の方程式を求めようとしていますから、解説書の方が遙かに最短の手段です。(定義域xを最初に求めようとするに問題には、”判別式を利用しようとする"ことも、十分１つの手段になります。）
だから判別式をここで持ち出すこと自体、おかしいのでしょうか？
といえます。

話変わって解説書と違う解法を１つ書いてみます。（流れだけですよ、読み込んで下さい。）
ｙ＝ｍｘは原点Ｏ（０，０）を通る傾きｍの直線
もう一方の方はｍ≠０でないときｙ－１＝－（ｘ－２）／ｍと変形すれば点A(2,1)を通る傾き－１／ｍの直線の方程式です。この2つは重ならないか、または平行でなければ１点Ｐで交わります。
しかも傾き同士を掛け合わせると－１となりますから、直線ＯＰとＡＰはｍの値にかかわらず常に直交しますから、点Ｐの軌跡はＯＰを直径とする円になります。

まっ　　到達地点は同じになりますが、登り方はいくつかありますよ。自分の解き方と道具を信じて一途に考えて下さい。他の意見に耳を傾けることも大切ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

本の解説自体は納得できたのですが、解説を見ずに解いたこの解き方ではなぜ解答に辿りつけないのかが自力ではわかりませんでした。
（皆さんに回答いただいたおかげで、一応この方針でも解けることと、すごく遠回りであることがわかりました）

別解の方は、解説書にも載っているもののいまいち理解しきれずにいましたが、解説書よりわかりやすく書いて下さったのでとても参考になりました！

ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/06 17:28