タイル尺度

不平等度を表すタイル尺度について質問です。

h(Xi)=ln(1/Xi), Xi≧0かつΣXi=1のとき、
H(Xi)=ΣXi*h(Xi)
=ΣXi*ln(1/Xi)
となります(ただし、i=1, 2,…, N)。

すると、H(Xi)は、Xi=1/nの時に最大値lnNをとるとのことですが、
どのようにして、Xi=1/nの時に最大値lnNとなるということを導くのかが
分かりません。

どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2011/10/27 15:29

大文字と小文字が間違っているようですが、Xi=1/Nと読み替えて回答します。

Xi=1/NをΣXi*ln(1/Xi)に代入すれば
ΣXi*ln(1/Xi) = Σ(1/N)*ln(N)
=((1/N)*ln(N) + (1/N)*ln(N) + (1/N)*ln(N) + ... + (1/N)*ln(N))
=ln(N)*((1/N) + (1/N) + (1/N) + ... + (1/N))
=ln(N)

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ご回答いただいた計算過程は理解しており、
質問は、最大値の求め方を尋ねる内容でした。
うまく意図が伝わらない書き方をしてすみませんでした。

その後、周りの人に聞いて解決できました。
最適化する時に、制約条件をかけるのをうっかり忘れていました。
ラグランジュ未定乗数法で解けば、すぐに求めることができました。

ご回答頂いたので、感謝の気持ちを込めて、ベストアンサーにさせて
いただきます。

お礼日時：2011/10/28 10:41