単位分数を３つたして1になる組み合わせ

例えば1/4＋1/4＋1/2や1/6＋1/3＋1/2のように単位分数を3つたして1になるような組み合わせを考えます。
どのように考えれば良いのでしょうか。
1/3＋1/3＋1/3は見つかりました。

No.1 回答者： ZET235711 回答日時： 2011/11/04 23:40

まず，１つの１より小さい分数を決めます．

分子を１に限るのであれば，
1/ｎ　（nは，自然数とします）

これを１から引きます．

　1-1/n=a/b (a,bは自然数とします)

　このa/bより小さくて，
　1-(a/b)=(1/c)＋(1/d)となるように，
　(1/c)と(1/d)の組み合わせを見つけます．
（ｃとd は自然数とします）

これは，法則性を見つけない限り，
プログラムを組んで総当たりで組み合わせを見つけた方が早いですね・・・．

おそらく，それ以上の組み合わせはないと思います．

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やっぱりこれだけしかないですかね？

お礼日時：2011/11/05 15:23

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/11/04 23:53

1/a+1/b+1/c = 1 に対し, 対称性から a ≧ b ≧ c を仮定すると c に上限が付く (で c を決めれば今度

は b に上限が付く) とやれば総当たりなど不要.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、回答者様のお答えでは、具体的にどうして、結局答えはどうなるのかが、私の能力ではわかりません。
もう少しわかりやすく説明して頂けるとありがたいです。

お礼日時：2011/11/05 15:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/11/05 22:50

1/a+1/b+1/c = 1 と a ≧ b ≧ c を仮定すれば 1/a ≦ 1/b ≦ 1/c だから 1 ≦ 3/c. こ

れで c に上限が付くでしょ? それぞれの c に対し, 同様に b の上限を考えるだけ. 「能力」というほどの問題じゃない.

No.4 ベストアンサー 回答者： apollonius 回答日時： 2011/11/06 13:20

a≦b≦c 仮定すると，1/c≦1/b≦1/a となるので，

　1=1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a
⇒ 1≦3/a ⇒ a≦3
また，a，b，cを正とすると，
　1/b+1/c=1-1/a>0
　⇒ 1/a<1 ⇒ a>1
よって，aの範囲は， 2≦a≦3 となります。

(i) a=2 のとき；
　1/b+1/c=1-1/2=1/2
b≦c と仮定しているので，1/c≦1/b となり，
　1/2=1/b+1/c≦1/b+1/b=2/b
⇒ 1/2≦2/b ⇒ b≦4
a≦b なので，bの範囲は，2≦b≦4 となります。
b=2のとき，c=0 となり不適。
b=3のとき，c=6。
b=4のとき，c=4。

(ii) a=3 のとき；
　1/b+1/c=1-1/3=2/3
b≦c と仮定しているので，1/c≦1/b となり，
　2/3=1/b+1/c≦1/b+1/b=2/b
⇒ 2/3≦2/b ⇒ b≦3
a≦b なので，bの範囲は，3≦b≦3，すなわち，b=3 となります。
このとき、c=3。

以上から，解は，
　(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3),
となります。a，b，c，が正となる解はこれ以外にはありません。