広義積分の可能/不可能の判定問題

次の式が広義積分可能かどうかを問う問題です。

(1)∫[-∞,+∞]sinx dx
(2)∫[0,+∞](sinx)/x dx
(3)∫[0,+∞]|sinx|/x dx


(1)番は、
∫[-a,+a]sinx dxの極限(a→+∞)を取れば０になりますが、
それ以前に[-a,+a]の極限として考えていいかどうか問題がありますし、
だからといって、[-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えてしまうとどうしようもありません。

ここでは詳細は書きませんが、(2)番以降も手がつけられなくて困っています。

どうか教えてください。お願いします。
もちろん１問だけでも結構です。

No.1 回答者： Eiji57 回答日時： 2003/11/25 00:54

(1) x→+∞のとき、sinxは -1～1の間のどの値をとるか分からないので、積分不可能だと思います。

(2) x→+∞のとき、(sinx)/x は正負の値をとりながら、0になるので積分可能。
(3) x→+∞のとき、|sinx|/x→0なので、積分可能。

この回答へのお礼

素早いアドバイスありがとうございました。

お礼日時：2003/11/25 20:35

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/11/25 03:51

suimaさん、こんにちは。

∫[-a,+a]sinx dxの極限はChaucyの主値と呼ばれ、通常の広義積分とは別のものです。通常の広義積分の定義は「∫[-b,+a]sinx dxで(a,b→+∞)のどのような極限のとり方をしても一定の値に収束する時、その値を広義積分と呼ぶ」ということなので、∫[-∞,+∞]sinx dxは存在しません。

(3)∫[0,+∞]|sinx|/x dx
　∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx
　 >(1/(2n+1)π)∫[2nπ,(2n+1)π] sinx dx=2/(2n+1)π
　∫[(2n+1)π,2(n+1)π]|sinx|/x dx
　 >(1/2(n+1)π)∫[2(n+1)π,2(n+1)π] |sinx| dx
　=(1/(n+1)π)
よって
　|∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π
このように発散する級数より大きいので積分は存在しません。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
1,3番はよく分かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/25 20:39

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/11/25 04:00

下の回答で

　|∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π
は
　|∫[2nπ,2(n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π
の誤りです。

No.4 回答者： thetas 回答日時： 2003/11/25 04:03

>(1)番は、

>∫[-a,+a]sinx dxの極限(a→+∞)を取れば０になりますが、
>それ以前に[-a,+a]の極限として考えていいかどうか問題がありますし、
>だからといって、[-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えてしまうとどうしようもありません。

[-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えないといけません。
それが、定義です。

で、bを固定して、a→+∞はどうなのかと考えますと、極限は存在しませんので、
(1)は積分不可能。


(2)は、[a,b]でa→+０、b→+∞と考えましょう。（それが定義）
で、[a,b]での積分をして、極限をとると積分可能であるとわかります。

(3)は、(2)と同様にして、
[a,b]でa→+０、b→+∞と考えてみます。
が、直接積分できないので、≧でつなぎ、
小さいほうが＋∞にいくので、積分不可能といえます。

この回答へのお礼

定義に則った回答ありがとうございます。
∫[-∞,+∞]はlim(a→∞)∫[-a,a]ではダメなんですね。
今後そんな考えに至らないように気をつけます。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/25 20:47

No.5 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/11/25 05:32

(2)

　∫[2nπ,(2n+1)π]sinx/x dx
　 ≦(1/2nπ)∫[2nπ,(2n+1)π] sinx dx=1/nπ
　∫[(2n+1)π,2(n+1)π]|sinx|/x dx
　 ≦(1/2(n+1)π)∫[2(n+1)π,2(n+1)π] sinx dx
　=(1/(n+1)π)
よって
　|∫[2nπ,(2n+1)π]sinx/x dx|≦(1/n - 1/(n+1))/π
このように収束する級数で抑えられるので積分は存在します。

この回答へのお礼

(1)(3)ともども、丁寧な回答ありがとうございます。

[2nπ,2(n+1)π]で考えてしまっていたので全然解けませんでした（汗
sinの正負で場合分けする必要があったんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/25 20:51

No.6 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/11/25 11:45

すみません。

No2の回答の中でコーシーの綴りが誤っていました。正しい綴りはCauchyです。Cauchyの主値についてはGelfand, Shilovの超関数論などを御覧下さい。