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arg(jωL/1-ω^2CL)において()の部分の分母が0のときどうしてarg(jωL/1-ω^2CL)が0になるんでしょうか?教えてください。よろしくお願いします><

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A 回答 (9件)

最近知ったんですが、0で割るのはもはや式とは呼べないそうです。

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なるほど、lim[ω^2CL→1] arg(jωL/(1-ω^2CL)) じゃなくて


lim[R→∞] arg(jωLR/{R(1-ω^2LC)+jωL}) なら、
1-ω^2CL ≠ 0 のときは = arg(jωL/(1-ω^2CL)),
1-ω^2CL = 0 のときは = lim[R→∞] arg(R) になりますね。
R が実数なら、arg(R) = 0 だから、lim[R→∞] arg(R)) = 0 でもある。
質問の式が違ってるんじゃ、しょうがないな。
カテゴリー違い→物理 ですかね。
数学の質問として答えると、やはり「ならない」でよかったことになる。
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質問者さんの読んでいる解説が,やや舌足らず or 荒っぽい(?)のは事実です。



L,C,ωは実数,jは虚数単位です。
物理的には,もともとがLCR並列回路で,その損失が限りなく小さくなる
(並列接続する抵抗Rが無限大になる)極限を考えている。すなわち,
lim[R->無限大]のarg(jωLR/{R(1-ω^2LC)+jωL})を議論している,
と思ってもらうと,純粋数学の人にも話が通じるかしら?

物理や工学系では,数式を計算していて,
0で割るとか,解が一意に求まらないなど数学的に変な現象が起きるとき,
式がまずいのかな,モデル化が荒すぎるのかな,
などと数式の作り方を疑うところへ戻る場合があります。
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おや?


式の出処が何かは知らないけれど、物理の話であれば、
j が虚数単位で、ω, L, C は実数 ってことですよね?
だとすると、jωL/(1-ω^2CL) は純虚数になるから、
ω, L, C をどう変化させて 1-ω^2CL → 0 にするにせよ、
arg(jωL/(1-ω^2CL)) の極限は、π/2 か -π/2 の
どっちかにしかならないんじゃないの?
何かの値が、1-ω^2CL ≠ 0 のときは arg(jωL/(1-ω^2CL))、
1-ω^2CL = 0 のときは 0 という話が、
端折って arg(jωL/(1-ω^2CL)) → 0 にすり変わってない?
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フェザー図(ベクトル図)で考えると良いでしょう。


jωL/(1-ω^2CL)=1/{(1/(jωL))+jωC}
と変形できる。

(1-ω^2CL)の時
「|1/(jωL)|=|ωC| で大きさが等しく」 かつ 「1/(jωL) と jωC は偏角(位相)が-90°と90°で逆(位相)」
なので
「1/(jωL) 」と「jωC」を加えた「(1/(jωL))+jωC」は打ち消しあって
「大きさがゼロ」のフェザー(ベクトル)になります。
ゼロフェザーはフェザー図上では点となって確定しません。逆に、偏角(位相)はどんな値としても影響はありません。
その逆数「1/{(1/(jωL))+jωC}」の物理的意味は
大きさは 「1/0」 つまり無限大、偏角(位相)は不確定となるので、たとえゼロと仮定しても問題ありません(物理的には)。
特定の偏角を与えるとするなら極限をとって考え
(1-ω^2CL)は実数なのでω→1/√(LC)の極限は±0(実数なので偏角は0と考えてよい)なので、ω→1/√(LC)のとき
jωL/{(1/(jωL))+jωC}の大きさは無限大、偏角は±jの偏角「±90°」または{(1/(jωL))+jωC}の偏角の極限にマイナスを付けた「-0°」つまり「0°」とすること考えられます。

なので質問の本題に戻ると
>arg(jωL/1-ω^2CL)において()の部分の分母が0のときどうしてarg(jωL/1-ω^2CL)が0になるんでしょうか?
0°(=0ラジアン)としても物理的には間違いとは言えません。

数学的には 「jωL/0」は0(ゼロ)で割れませんので未定義なので、その偏角も未定義、つまり偏角を考えても意味はありません。
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LC並列回路において


1-ω^2CL=0のときarg(  )=0となり
共振回路となる。

=0といっても実際の電気回路ではいくらかの成分が存在しており
0で割ったらいけないとか難癖つけるほうがおかしい。
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数式としては0になりません。

数学としては,alice先生のおっしゃるように,0で割る演算が出てくるので計算不能で,値はありません。

ただし,物理としては0とする方が便利,あるいは実態に近いのです。

元の問題はLC並列共振回路のインピーダンスですね。
共振周波数未満では,インピーダンスは誘導性となって,偏角は+π/2,
共振周波数を超えると,インピーダンスは容量性となって,偏角は-π/2になって,不連続に変化します。
ちょうど共振周波数LCω^2=1となるとき,インピーダンスは無限大になります。
LとCが理想的なL素子とC素子の場合,インピーダンスは無限大になり,その偏角は定まりません。
ここまでは純粋に数式から読み取れる話です。

しかし,実際には,Lの巻線抵抗やCの誘電体損失があるため,インピーダンスとしては,
「とても大きいけれども抵抗成分をもつインピーダンス」が現れます。インピーダンスが純抵抗になるため,その偏角は0です。
ちゃんと説明するなら,LCRが並列になった共振回路のインピーダンス
Z=jωLR/{R(1-ω^2LC)+jωL}
を計算します。この場合は,共振周波数付近でωを大きくしていくと,
偏角は,+π/2から0を通って-π/2まで,連続的に変化します。このことを念頭に置いた上で,R→無限大の極限として,「共振周波数での偏角は,便宜的に0」と説明しているのだと思います。
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式自体はなんだったか忘れましたが…


遅れ・進み成分が相殺されて0になると力率1(偏角0)で
その式の分母が0になるだけではなかったでしょうか?

ちょっとあてずっぽですが
ご質問は何か勘違いしてますよ
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なりません。


分母が 0 だったら、jωL/(1-ω^2CL) の値は定義されないし、
従って arg(jωL/(1-ω^2CL)) の値も定義されない。
「0 で割っちゃいけない」って習いませんでした?
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