ばね振り子の力学的エネルギーの証明

ばね振り子の振動中の任意の一点と自然長でのばね振り子の力学的エネルギーが等しいことを証明しようと思うのですが、うまくいきません。
外力が働かないため、力学的エネルギー保存則が成り立っているといえばそれまでなのですが、そうではなく、実際に計算によって確かめたいのです。

ばね定数kのばねに重さmの重りをぶら下げた時の釣り合いの位置をd(つまり、mg=kd)とする。
自然長(×つり合いの位置)Oでの速さをv0、任意の点Yでの速さをv、長さをyとすると、力学的エネルギー=運動エネルギー+重力の位置エネルギー+弾性エネルギーより、
E(Y)=mv^2/2+mg(y-d)+k(y-d)^2/2
E(O)=mv0^2/2+0+0

よって、
E(O)-E(Y)=m(v0^2-v^2)-(mg(y-d)+k(y-d)^2/2)
=……
などと計算を続けたのですが、自分ではうまく0にできません。

どなたか模範回答をご教示ください。どうかよろしくお願いします。

No.1 回答者： metzner 回答日時： 2011/11/22 13:16

「実際の計算で確かめたい」という意味が定かではありませんが、考えられるのは、

運動方程式を議論の出発点として、

(1)運動方程式を実際に解いて（力学的エネルギー保存を使わなくても他の方法で解けます）、位置と速度を時間の関数として求めて、お書きになられているv,yに代入して確かめる。

(2)力学的エネルギーE = m/2 v^2 + k/2 x^2を時間で微分して０を示し力学的エネルギー保存を示す。

(3)運動方程式に速度を掛けて、時間で積分して力学的エネルギーが一定（保存）であることを示す。

ですね。

No.2 回答者： foomufoomu 回答日時： 2011/11/22 14:58

力学的エネルギーには、仕事、速度、位置、バネ変形、圧力、などがありますが、そのすべてがニュートン、フック、ボイル・シャルルの法則を使って数学的に変換可能です。

しかし、そのうち、速度エネルギーの計算だけはちょっと難しくて、微積分のやや高度な知識が必要です。

（たぶん、このページに書いてある方法で変換するのだったと思います。）
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/basicla …

No.3 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/11/22 17:15

すべてをきちんと説明しようとすると、運動方程式を解いてやらなければなりませんが、ここでは、おもりは、釣り合いの高さを振動の中心とする単振動すること、単振動の公式から、位置（高さ）y座標と速度ｖはわかっているものとして進めることにしましょう。

質問者さんが高校生なら、これで十分でしょう。
　
原点位置を振動の中心とする単振動は
ｙ＝d・sinωt　　（ア）
ｖ＝dω・cosωt　（イ）
と書けます。
ここで、角振動数ω＝√(ｋ/ｍ)です。　（ウ）
また、釣り合いの位置の情報から
ｍｇ＝ｋｄ　　（エ）
　
以上が準備。
添付図（必ず図を描くようにしましょう！）を見ながら、エネルギーを数式化します。
重力による位置エネルギーＵ
Ｕ＝－ｍｇ(ｄ＋ｙ）
弾性力による位置エネルギーＵk
Ｕk＝(1/2)ｋ・(ｄ＋ｙ)^2
運動エネルギーＫ
Ｋ＝(1/2)ｍv^2
ですから
力学的エネルギーＥは
Ｅ＝－ｍｇ(ｄ＋ｙ）＋(1/2)ｋ・(ｄ＋ｙ)^2＋(1/2)ｍv^2
これに、（ア）～（エ）を適切に代入します。
　
途中で出てくるω,ｋを（ウ）および（エ）を利用して、ｄ,ｇで表すようにするとまとめ易くなります。変数tが残ってしまうことが心配でしょうが大丈夫、最終的には消えてしまいます。
三角関数の公式
(sinθ)^2＋(cosθ)^2=1　
も使うようになるでしょう。
　
変形していくと、Ｅ＝０　になりますよ。

この回答へのお礼

なるほどです。これをつかってあらわせばよかったのですね。
ｙ＝d・sinωt　　（ア）
ｖ＝dω・cosωt　（イ）

無事にできました。ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/23 04:15