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問題は

  ∫a^2 / (x^2 +a^2)^(3/2) = x / √(x^2+a^2) になる、計算方法がわかりません。

どなたか、わかりやすくご教授ください。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

a^2 / (x^2 +a^2)^(3/2)


={(x^2 +a^2)-x^2}/(x^2 +a^2)^(3/2)
=(x^2 +a^2)/(x^2 +a^2)^(3/2) -x^2/(x^2 +a^2)^(3/2)
=1/(x^2 +a^2)^(1/2) -x^2/(x^2 +a^2)^(3/2)
=1*(x^2 +a^2)^(-1/2) -x^2*(x^2 +a^2)^(-3/2)
=x'*{(x^2 +a^2)^(-1/2)} + x*{(x^2 +a^2)^(-1/2)}'
={x(x^2 +a^2)^(-1/2)}'

両辺をxで積分すると

∫a^2 / (x^2 +a^2)^(3/2) dx=x(x^2 +a^2)^(-1/2) +C
= x/(x^2 +a^2)^(1/2) +C
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

何とか理解できましたが

  1*(x^2 +a^2)^(-1/2) -x^2*(x^2 +a^2)^(-3/2) から

  x'*{(x^2 +a^2)^(-1/2)} + x*{(x^2 +a^2)^(-1/2)}'になる考え方が

まだ、整理できません。

逆から考えると理解できるのですが・・・・・

 

お礼日時:2011/11/24 19:57

x = a tanθ もよいが、


x = a sinhθ も捨てがたい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらも代入して、やってみます。

お礼日時:2011/11/24 20:02

[別法]


x=a*atn(θ)と置き換える。
dx=a*(secθ)^2dθ
x^2+a^2=a^2*(1+tan(θ)^2)=a^2*sec(θ)^2より
被積分関数=(x^2+a^2)^(3/2)=a^3*sec(θ)^3
よって
∫a^2 / (x^2 +a^2)^(3/2) dx
=∫a^2/{a^3*sec(θ)^3}×a*sec(θ)^2dθ
=∫1/secθdθ=∫cosθdθ=sinθ
sinθ=tanθ/sqrt(1+tan(θ)^2)にtan(θ)=x/aを代入して,
与式=(x/a)/sqrt(1+(x/a)^2)=x/sqrt(x^2+a^2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

何とか理解します。

やっぱり難しい・・・

お礼日時:2011/11/24 20:00

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