ある積分の問題です、よろしくお願いします。

問題は

　　∫a＾2 / (x^2 +a^2)^(3/2) = x / √（x^2+a^2) になる、計算方法がわかりません。

どなたか、わかりやすくご教授ください。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/22 14:36

a^2 / (x^2 +a^2)^(3/2)

={(x^2 +a^2)-x^2}/(x^2 +a^2)^(3/2)
=(x^2 +a^2)/(x^2 +a^2)^(3/2) -x^2/(x^2 +a^2)^(3/2)
=1/(x^2 +a^2)^(1/2) -x^2/(x^2 +a^2)^(3/2)
=1*(x^2 +a^2)^(-1/2) -x^2*(x^2 +a^2)^(-3/2)
=x'*{(x^2 +a^2)^(-1/2)} + x*{(x^2 +a^2)^(-1/2)}'
={x(x^2 +a^2)^(-1/2)}'

両辺をxで積分すると

∫a＾2 / (x^2 +a^2)^(3/2) dx=x(x^2 +a^2)^(-1/2) +C
= x/(x^2 +a^2)^(1/2) +C

この回答へのお礼

ありがとうございます。

何とか理解できましたが

　　1*(x^2 +a^2)^(-1/2) -x^2*(x^2 +a^2)^(-3/2)　から

　　x'*{(x^2 +a^2)^(-1/2)} + x*{(x^2 +a^2)^(-1/2)}'になる考え方が

まだ、整理できません。

逆から考えると理解できるのですが・・・・・

　

お礼日時：2011/11/24 19:57

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/11/22 16:30

[別法]

x=a*atn(θ)と置き換える。
dx=a*(secθ)^2dθ
x^2+a^2=a^2*(1+tan(θ)^2)=a^2*sec(θ)^2より
被積分関数=(x^2+a^2)^(3/2)=a^3*sec(θ)^3
よって
∫a＾2 / (x^2 +a^2)^(3/2) dx
=∫a^2/{a^3*sec(θ)^3}×a*sec(θ)^2dθ
=∫1/secθdθ=∫cosθdθ=sinθ
sinθ=tanθ/sqrt(1+tan(θ)^2)にtan(θ)=x/aを代入して，
与式=(x/a)/sqrt(1+(x/a)^2)=x/sqrt(x^2+a^2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

何とか理解します。

やっぱり難しい・・・

お礼日時：2011/11/24 20:00

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/22 20:09

x = a tanθ もよいが、

x = a sinhθ も捨てがたい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

こちらも代入して、やってみます。

お礼日時：2011/11/24 20:02