問題1、時刻t=0に、地面からX0[m]の高さより、鉛直方向に初速度V0[m/s]で質量m[kg]のボールを投げた。地面から鉛直上向きに測ったボールの位置をX[m]、重力加速度ををg[m/sの二乗]、空気抵抗は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
(1)運動方程式は□となるこれを解いて、
(2)時刻tの速度v=□、時刻tの位置x=□となる。
(3)K=mv^2/2に(2)のvを代入し括弧を展開すると、K=□となる。
(4)U=mgxに(2)のxを代入し括弧を展開するとU=mgx=□となる。
(5)(3)、(4)の結果を用いるとmv^2/2+mgx=mv0^2/2+mgx0となりエネルギーは保存する。
(6)時刻0からtまでの間、重力によってなされた仕事W=∫xからx0(ーmg)dx=□となる
□に入る部分をよろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
(1)
上向きを正とすると速度vの時間変化が重力加速度に等しいので、
dv/dt=-g
(2)
これをtで積分すると
v=-gt+C (Cは積分定数)
t=0のときv=v0なのでC=v0であり、よって
v=v0-gt
速度vは位置の時間変化であり、dx/dtと表されるので
dx/dt=v0-gt
これを時間で積分すると
x=v0t-gt^2/2+C’ (C’は積分定数)
t=0のときx=x0なのでC’=x0であり、よって
x=x0+v0t-gt^2/2
(3)および(4)
ご自分で計算して下さい。
(6)
∫(-mg)dx (積分範囲はxからx0)を変形します。位置x、およびx0は時刻tおよび0に相当します。また、dx/dt=vですからdx=v・dtです。よって上記の積分は
∫(-mgv)dt (積分範囲はtから0)
となるので、これにv=v0-gtを代入して
∫(-mg(v0-gt))dt (積分範囲は同じ)
となります。計算はご自分でどうぞ。
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