積分 置換積分

√(a^2-x^2)の積分がわかりません

xをasintに置換するらしいですが
その先がよくわからないです

教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/12/01 14:10

∫{√(a^2-x^2)}dx を置換積分する際、

√(a^2-x^2) だけでなく
dx も置換されることを忘れないでね。
参考→A No.1

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2011/11/30 21:39

√(a^2-x^2)にasintを代入してみると、ルートの中は、

ａ＾2－ａ＾2sin＾2ｔ＝ａ＾2（１－sin＾2ｔ）＝ａ＾2cos＾2ｔ＝（ａcosｔ）＾2

ａ＞０で、例えば、積分範囲－π＜ｔ＜π　ならば、cｏsｔ＞０だから、

ルートが取れて　acosｔを積分することになります。

ｘの積分範囲とか詳しいことが分からないので、問題をできるだけ正確に書いてもらえればと思います。

No.2 回答者： uuu-chan 回答日時： 2011/11/29 21:59

a^2でくくってみて。

ていうか有名な積分だから参考書に載っていると思うよ。
それを見たほうが早いかも。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/29 18:15

∫f(x)dx を x=g(t) で置換すると、

合成関数の微分公式から派生する
置換積分の公式により、=∫f(g(t))g'(t)dt です。
質問の計算では、f(x)=√(aa-xx),
g(t)=a sin t ということですね。

√ の部分を整理するとき、｜cos t｜ が現れます。
x と t での積分範囲の対応を決めるとき、
cos t の符号を意識しておくとよいです。
-π≦t≦π に収めておくと、簡単です。

ヒントに沿って、少し計算を進めたら、
そこまでの経過を補足に書いてみましょう。