波動関数φ(x)=C*exp(-x^2/2a^2)から不確定性関係を導く問題です。
運動量のp^2の期待値<p^2>の計算がわかりません
<p^2>=∫φ(x)'*p^2*φ(x) *φ'(x)は共役複素数
=|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx
=|c|^2*(-ih)*(4/a^4) ∫x^2* exp(-x^2/a^2) dx
ここで |C|^2=1/a√π (規格化より求めた)
∫x^2* exp(-x^l2/a^2) dx=(a^3*√π)/2
を代入して
<p^2>= -2ih
以上のようになったのですが、間違っている気がしてなりません。
間違いがあったらご指摘お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
p=ih/(2π)d/dx
をそのまま入れてしまえばよいのです。
<p^2>=∫φ'(x)p^2φ(x)dx
=∫φ'(x){-h^2/(2π)^2}d^2/dx^2φ(x)dx
となります。
h^2となっていないこと(そうでないと次元が合わない)から間違いであることは明らか。
虚数単位iの2乗されるため-1になり残りません。
さらに質問者の式では微分演算d^2/dx^2が|φ(x)|^2にかかっています。
微分演算d^2/dx^2がかかるのはあくまでφ(x)だけですのでこれも間違い。このため係数も違います。
φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。
位置の期待値と同じように解釈してました。
pは運動量演算子ですから、勝手に交換してはいけないんでした。
数学の基礎がきっちりしてないと量子力学は難しいですね;
No.3
- 回答日時:
#1です。
最後のところ修正。
>φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。
後ろの式は積分したもので成り立つ関係です。積分する前から成り立つ式ではありません。
ブラ・ケットの記法を使うと
<φ|p^2|φ>=<φ|p(p|φ>)={(p|φ>)†}(p|φ>)
となります。(pがエルミート演算子であることを使用しています。)
これを置き換えると
∫φ'(x)p^2φ(x)dx=∫(pφ(x))'*(pφ(x))dx=∫|pφ(x)|^2dx
となるのです。
この回答への補足
ありがとうございます。エルミート演算子の扱い方の理解が足りなかったみたいです。
皆さんの回答を参考に計算しなおしてみたところ、
<p^2>=h^2/2a^2 (hはプランク定数を2πで割ったもの)
となったのですが、合っていますでしょうか。
お時間があればよろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
>=|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx
p^2なのとφ*は微分の後にかけることと、微分が間違っています
p^* = (-ihd/dx)^2 = -h^2 d^2/dx^2 (hはプランク定数/2π)
(d/dx) exp(-x^2/2a^2) = -2x/2a^2 exp(-x^2/2a^2) = -x/a^2 exp(-x^2/2a^2)
(d/dx)^2 exp(-x^2/2a^2) = (d/dx) [-x/a^2 exp(-x^2/2a^2)]
= [ -1/a^2 + x^2/a^4 ] exp(-x^2/2a^2)
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