No.4ベストアンサー
- 回答日時:
問題の答え以前に、まず基本的な事項として、
二重根号はいつでも外せる訳ではない
ことを覚えておきましょう。従って、
二重根号を外す組織的な手順などありません。
私個人的には、質問の √ を外せるのは
単に 1+√2+√3 を二乗したことがあるからで、
それ以上でも以下でもないです。
No.3
- 回答日時:
要するに
P=3+√2+√3+√6
がなんかの2乗になっていればよいわけです。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
では項数が足りません。そこで
Q=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
を考えます。PとQが一致に近づくために
2P=6+2√2+2√3+2√6
すると2ab+2bc+2caと2√2+2√3+2√6が同じ形をしていて
a=1, b=√2, c=√3
が見えてきます。
さらに
a^2+b^2+c^2=1+2+3=6
でドンピシャ!
つまり
2P=(1+√2+√3)^2
P=(1+√2+√3)^2/2
√P=(1+√2+√3)/√2
=√2(1+√2+√3)/2
=(2+√2+√6)/2
でもまあ、こじつけかもしれません。
No.2
- 回答日時:
二重根号をはずすと言うことは,外の根号の中を2乗の形にするということなので,そのような形にすることを試みてみます.
ただし今の場合,項が4つありますから,2項の和の2乗の形,(a+b)^2,にはできません.少なくとも3項の和の形,(a+b+c)^2,になることが予想されます.それで {a+(b+c)}^2 の形を目指してみます.
まず
6=2×3
に着目して
√6
= √2√3
= 2√2√3/2
= {(√2+√3)^2-5}/2.
よって
3+√2+√3+√6
= {2×3+2(√2+√3)+(√2+√3)^2-5}/2
= {1+2(√2+√3)+(√2+√3)^2}/2
= {1+(√2+√3)}^2/2
= (√2+2+√6)^2/4.
うまくいきました.
結果を知らなくても出来たかどうかはわかりませんが.
No.1
- 回答日時:
とりあえず
√(3+√2+√3+√6)=a+b√2+c√3+d√6(>0)…(◆) (a,b,c,dは有理数)
とおいて、
両辺2乗して
(3+√2+√3+√6)=(a+b√2+c√3+d√6)^2
右辺を展開して
左辺と右辺の、定数項、√2,√3,√6の各係数を等しいとおいてできる
4つのa,b,c,dについての連立方程式の有理数解の組みを求めれば良いでしょう。ただし、(◆)の右辺>0を満たす有理数解である必要があります。
連立方程式を解けば
a=1,b=1/2,c=0,d=1/2
が得られるでしょう。
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