二重根号√(3+√2+√3+√6)

√(3+√2+√3+√6)=(2+√2+√6)/2

です。右辺の形が分かっていないとき、左辺から右辺を導く考え方があれば教えてください。
他の一般的な値にも使える方法がいいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/01/14 01:06

問題の答え以前に、まず基本的な事項として、

二重根号はいつでも外せる訳ではない
ことを覚えておきましょう。従って、
二重根号を外す組織的な手順などありません。
私個人的には、質問の √ を外せるのは
単に 1+√2+√3 を二乗したことがあるからで、
それ以上でも以下でもないです。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2012/01/13 22:51

要するに

P=3+√2+√3+√6

がなんかの2乗になっていればよいわけです。

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

では項数が足りません。そこで

Q=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

を考えます。PとQが一致に近づくために

2P=6+2√2+2√3+2√6

すると2ab+2bc+2caと2√2+2√3+2√6が同じ形をしていて

a=1, b=√2, c=√3

が見えてきます。

さらに

a^2+b^2+c^2＝1+2+3＝6

でドンピシャ!

つまり

2P=(1+√2+√3)^2

P=(1+√2+√3)^2/2

√P=(1+√2+√3)/√2
=√2(1+√2+√3)/2
　=(2+√2+√6)/2

でもまあ、こじつけかもしれません。

No.2 回答者： ok-2011 回答日時： 2012/01/13 16:21

二重根号をはずすと言うことは，外の根号の中を2乗の形にするということなので，そのような形にすることを試みてみます．

ただし今の場合，項が4つありますから，2項の和の2乗の形，(a+b)^2，にはできません．少なくとも3項の和の形，(a+b+c)^2，になることが予想されます．それで {a+(b+c)}^2 の形を目指してみます．

まず
6=2×3
に着目して
　√6
= √2√3
= 2√2√3/2
= {(√2+√3)^2-5}/2．

よって
　3+√2+√3+√6
= {2×3+2(√2+√3)+(√2+√3)^2-5}/2
= {1+2(√2+√3)+(√2+√3)^2}/2
= {1+(√2+√3)}^2/2
= (√2+2+√6)^2/4．

うまくいきました．
結果を知らなくても出来たかどうかはわかりませんが．

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/13 16:18

とりあえず

　√(3+√2+√3+√6)=a+b√2+c√3+d√6(>0)…(◆)　(a,b,c,dは有理数)
とおいて、
両辺２乗して
　(3+√2+√3+√6)=(a+b√2+c√3+d√6)^2

右辺を展開して
左辺と右辺の、定数項、√2,√3,√6の各係数を等しいとおいてできる
4つのa,b,c,dについての連立方程式の有理数解の組みを求めれば良いでしょう。ただし、(◆)の右辺＞0を満たす有理数解である必要があります。
連立方程式を解けば
　a=1,b=1/2,c=0,d=1/2
が得られるでしょう。