ベクトル解析の定理の証明

1,div(f×F)＝(rot f )・F－f・(rot F )
2,rot(f×F)＝(div F )f－(div f )F＋(F・∇)f－(f・∇)F
f,Fはベクトルです

この二つの定理をf=(f,g,h),F=(F,G,H)として、成分を用いて
証明したいのですが、どうやってもわかりません。
どなたか、どう成分計算をした結果こうなるのか教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/06 00:58

できたとのことでよかったです。

1と2の違いは、1の両辺はスカラーであり、2の両辺はベクトルであることです。言いかえると、1は式が1本であり、2は式が3本になります。

ですから、1は全ての成分を計算するというよりは、1本ある式を計算するというだけのことです。

2では、3本の式全てを計算するにしても、結局は同じことを3度繰り返すだけのことになります。x成分での計算式の中で、添え字を x→y, y→z, z→xと変えればy成分の、x→z, z→y, y→xと変えればz成分の計算式になるでしょう。ですから、2ではとりあえずx成分だけを計算してみる方針でよいわけです。

この回答へのお礼

なるほど、理解することができました。
今回は何度も解答していただきありがとうございました。
また、何かありましたらお願いします。
非常に勉強になりました。

お礼日時：2010/01/06 18:20

No.5 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/05 00:14

div の定義をもう一度確認してください。

div f = ∇・f = ∂fx/∂x + ∂fy/∂y + ∂fz/∂z

ですね。


(1)
右辺の計算は合っています。

左辺の計算は、まず f×g を計算して、それから div を計算するという意図ですね？その手順はOKです。しかし、計算が間違ってます。項の数が多すぎます。何か余分な事をしてますね。


(2)
書いてあるのは、x成分のみですね？
とりあえずx成分だけを確かめるという方針はOKです。

左辺、右辺第三項、右辺第四項の計算は合っています。
右辺第一項、右辺第二項の計算が間違っています。

(div g)f は、まず div g を計算してから、それを f に演算するということです。
div g で得られる結果はスカラーですね。ですから、div g = c とすると、(div g)f のx成分は、cfx になるはずです。fy, fzは出てきません。


(1)(2)の両方とも、div の定義に気をつけてもう一度計算してみてください。
証明まであと一歩のところまで来ていると思いますよ。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。
先ほど、無事計算が合い証明をすることができました！
ヒントを頂き、自分の手で計算を行うことによって、
自分が今まで勘違いして覚えていたことを正すことができ、
非常に勉強になりました。

最後にもうひとつだけ質問したいのですが、
なぜ、１の証明では全ての成分を計算する必要があり、
２の証明ではｘ成分だけでいいのでしょうか？
それぞれの理由について教えて頂けないでしょうか

お礼日時：2010/01/05 23:54

No.4 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/04 01:21

「証明することができない」とはなぜですか？

どのようにつまづいたのか、それを書いてみてください。

正しくない変形をしていれば、私がそれを指摘することができますし、単なる計算ミスであれば、他人に分かるように書き出すという過程で自身でそれを見つけることができるかもしれません。

書き出す上では、表記を変えた方がよいですね。
例えば、ベクトルFの代わりにgとして、
f = (fx, fy, fz), g = (gx, gy, gz), ∇ = (∂x, ∂y, ∂z)
とするのがよいでしょう。これで、ベクトル記号(矢印)は省くことができます。

# 他人にもわかりやすい表記は自分にとってもわかりやすく、見通し良くミスを防いで計算することに役立ちます。

この回答へのお礼

1,の右辺ですがx成分、y成分も同様にして計算すると、
(rot f)g
=(∂fz/∂y-∂fy/∂z)gx+(∂fx/∂z-∂fz/∂x)gy+(∂fy/∂x-∂fx/∂y)gz
(rot g)f
=(∂gz/∂y-∂gy/∂z)fx+(∂gx/∂z-∂gz/∂x)fy+(∂gy/∂x-∂gx/∂y)fz
となりなました。
左辺は
div(f×g)=∇(f×g)=∂/∂x(fygz-fzgy)+∂/∂y(fygz-fzgy)+∂/∂z(fygz-fzgy)
+∂/∂x(fzgx-fxgz)+∂/∂y(fzgx-fxgz)+∂/∂z(fzgx-fxgz)
+∂/∂x(fxgy+fygx)+∂/∂y(fxgy-fygx)+∂/∂z(fxgy-fygx)
第一項をさらに展開すると、
fy(∂gz/∂x)+gz(∂fy/∂x)-gz(∂gy/∂x)-gy(∂fz/∂x)
その他の項も同様に計算し、ひとまずgxについてまとめてみたんですが、
(∂fz/∂x+∂fz/∂y+∂fz/∂z-∂fy/∂x-∂fy/∂y-∂fy/∂z)gx
となり、左辺と同じような形に持っていくには、どうしたらよいかわからず、手詰まりとなりました。

2,については左辺について微分を用いて展開すると
fx(∂gy/∂y)+gy(∂gy/∂x)-fy(∂gx/∂y)-gx(∂fy/∂y)
-fz(∂gx/∂z)-gx(∂fz/∂z)+fx(∂gz/∂z)+gz(∂fx/∂z)
右辺については
g・∇ と (div g)が等しくないのは理解できました。
第一項
(div g)f=fx(∂gx/∂x)+fy(∂gx/∂y)+fz(∂gx/∂z)
第二項
(div f)g=gx(∂fx/∂x)+gy(∂fx/∂y)+gz(∂fx/∂z)
第三項
(g・∇)f=gx(∂fx/∂x)+gy(∂fx/∂y)+gz(∂fx/∂z)
第四項
(f・∇)g=fx(∂gx/∂x)+fy(∂gx/∂y)+fz(∂gx/∂z)
これらをもとの式に戻し、計算すると０となってしまいました。
申し訳ありませんが、間違っているところをご指摘と
証明の手助けをお願いします。

お礼日時：2010/01/04 15:27

No.3 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/03 18:30

もっとがんがん展開しましょう。

(1)
左辺は、微分を実行して展開します。
右辺は、y成分もz成分も計算しましょう。
両辺とも最終的にはスカラーになるので、x成分だけ見ていても駄目なのです。


(2)
左辺は、(1)同様に、微分を実行して展開します。

右辺は、第3項、第4項の計算に誤りがあります。
↑F・∇ と div↑F は等しくありません。順番を変えてはなりません。(↑F・∇)↑f というのは、まずは形式的に ↑F・∇ を計算しておき、それを↑fの各成分に演算するということです。

a・d/dx と da/dx は等しくない、と言うとわかりやすいでしょうか。
(a・d/dx)b = a・db/dx ですね。da/dx・bではありませんね。


(1)も(2)も項の数はそれなりに多くなります。でも、成分を用いて証明するからには避けて通れない道です。一つ一つの計算を間違わないように丁寧に行ってください。

これは面倒だ！ということであれば、No. 1の方がおっしゃるように工夫をすることになります。

この回答へのお礼

度々ありがとうございます。
教えて頂いたことを参考に何度も計算していますが、
証明することができません。
ただ、どうしても成分を用いて証明したいです。
お手数ですが、証明の途中計算を全て書いていただけないでしょうか？

お礼日時：2010/01/03 23:57

No.2 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/02 15:26

成分を用いて証明するのであれば、

(1) 左辺を成分を用いて計算し、
(2) 右辺も同様に計算し、
(3) 両者が等しいこと示す、

という手順を踏めばよいですね。「正答」として示されているものは、右辺を展開した後に左辺の形にまとめる(あるいはその逆)という形式になっていることが多いですが、実際には上記の手順を踏んでいるのと一緒です。書き方の差異だけです。

どうしても「正答」形式で示したいということであれば、なおさら、一度は上記の手順を踏むとよいでしょう。右辺を展開したものから左辺へどのように持っていくか、その途中経過は、左辺を展開したものにヒントがあります。

計算は内積、外積、div、rotの定義通りに一つ一つ行えばよく、面倒ではありますが複雑なところはありませんよ。

「どうやってもわかりません」というとどこでつまづいたのかわからないので、念のために補足すると、左辺の計算では「関数の積の微分」が出てくることに注意してください。

d(ab)/dx = (da/dx)b + a(db/dx)

です。(a,bはxの関数)

この回答への補足

確かにこれではどこでわからなくなったのかわかりませんね。
先ほどもう一度自分自身で解答してみた、途中計算を書いてみます
1,
↑f×↑F=(gH-hG,hF-hg,fG-gF)
よって左辺、div(↑f×↑F)=∇(↑f×↑F)=(d/dx)(gH-hG)+(d/dy)(gH-hG)+(d/dz)(gH-hG)
右辺
x成分だけみると
(rot↑f)・↑F=(dh/dy-dg/dz)・F
(rot↑F)・↑f=(dH/dy-dG/dz)・f
ここで手詰まり。

2,
右辺のx成分(d(fG-gF)/dy-d(hF-fH)/dz)
左辺の第一項
(div↑F)↑f=F((df)/dx)+G((df)/dy)+H((df)/dz)
第二項
(div↑f)↑F=f((dF)/dx)+g((dF)/dy)+h((dF)/dz)
第三項
(↑F・∇)↑f=(div↑F)↑fより第一項と同一
第四項
(↑f・∇)↑F=(div↑f)↑Fより第二項と同一
右辺の全項を足し合わせると
2(d(fG-gF)/dy-d(hF-fH)/dz)
2???となり、ここで手詰まりです。

やはり1,2とも証明できませんでした。
どのように計算していけば左辺と右辺を同じできるか
教えていただけないでしょうか

補足日時：2010/01/02 22:22

No.1 回答者： biones 回答日時： 2010/01/01 10:52

レヴィ・チヴィタの記号というモノを使えば容易に証明出来ます。

Wikipedia エディントンのイプシロン
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87% …

例えば1は

div(↑A×↑B)　　＝　Σ_ijk ∂_i ε_ijk A_j B_k

と添字を使った表記にして、整理してベクトル表記に戻せば出ます。
2、は上のリンクの一番上のクロネッカーのδで表記する公式を使います。

便利ですのでぜひ慣れてみてください。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
そちらのＵＲＬを参考に後ほど自分でも勉強してみたいと思います。
しかし、すみませんが、非常に急ぎで証明の内容を知りたいため、
途中の計算内容がどのようになるのか教えていただけると助かります。

お礼日時：2010/01/02 00:15