三角方程式

Question

0≦x≦2π、0≦y≦πをみたすx,yに関してcos2y=-sinxを解け

という問題なのですが、自分は以下のようにやって手詰まりました

cos2y=-sinx
⇔cos2y=-cos(π/2-x)
⇔cos2y=cos(3π/2-x)

ここで2y=3π/2-xと単純にやってはいけないことはわかるのですが
具体的にどうやればいいのかよくわかりません
うまく解くには一体どうしたらよいのでしょうか？ご教授よろしくお願いいたします

noname#152422 · Accepted Answer

変数が2個あるので解けというのがどういう意味かアレですけど気にしないことにして。

途中式の最後の式を片方に移行してcos(...)-cos(...)=0の形にした後、和積の公式を使って左辺をsinとsinの掛け算の格好にする。

このとき、どちらかのsinのが0だから、その中身がπの整数倍になることを利用する。

一次式がいくつか得られるので、最後に、0≦x≦2π、0≦y≦πを満たすものだけチェックして残す。

wiz77wiz · Answer

No.4 訂正

y=-(1/2)x-π/4+nπ
も式を満たすので、この分も追加してください。

結局、No.2 さんのとおりです。

ferien · Answer

No.1，No.3です。
ｘ＝２ｙを満たすもの以外で解があるので（ｘ＝ｙ＝π／２）調べたら

三角比の公式で、ｃｏｓ（π/2＋ｘ）＝－ｓｉｎｘ　というのがありました。
２ｙ＝π／２＋ｘとおいて、この関係を満たすｘ，ｙを探せば答えが得られると思います。

例えば、
ｙ＝π／４＋（ｘ／２）より、ｘ＝３π／４のとき、ｙ＝π／４＋（３π／８）＝５π／８
ｃｏｓ２ｙ＝ｃｏｓ（５π／４）＝－１/ルート２
ｓｉｎ（３π／４）＝１／ルート２より、
ｃｏｓ２ｙ＝－ｓｉｎｘ
が成り立ちます。確かめてみて下さい。

答えがいくつもあって定まらないですが、他に条件はないのでしょうか？

wiz77wiz · Answer

cos2y=-sinx=cos(x+π/2)

2y=x+π/2+2nπ
y=(1/2)x+π/4+nπ (n:整数)

これはxy平面上で直線ですが
この内、0≦x≦2π、0≦y≦πの領域を通る部分は、

y=(1/2)x+π/4 (0≦x≦(3/2)π)
y=(1/2)x-(3/4)π ((3/2)π≦x≦2π)

となります。
どうでしょうか。

ferien · Answer

Ｎｏ1です。

x=2yとするのは間違っていると思います
範囲が2倍なだけで、x=2yという関係が
>常に成り立っているわけではないので

x=2yという関係が、なぜ常に成り立たないと考えるのか分かりません。
どのような場合がありますか？

ｘ＝３π／４，ｙ＝３π／８のとき、
ｓｉｎ（３π／４）＝１／ルート２
ｃｏｓ（２・３π／８）＝－１／ルート２より、
ｃｏｓ２ｙ＝－ｓｉｎｘ

ｘ＝７π／４，ｙ＝７π／８のとき、
ｓｉｎ（７π／４）＝－１／ルート２
ｃｏｓ（２・７π／８）＝１／ルート２より、
ｃｏｓ２ｙ＝－ｓｉｎｘ

で、方程式を満たしています。Ｘ＝２ｙの関係です。

ferien · Answer

>0≦x≦2π、0≦y≦πをみたすx,yに関してcos2y=-sinxを解け

0≦x≦2π、0≦y≦πから、ｘ＝２ｙと考えて、π/4≦x+π/4≦2π＋π/4

cosx=-sinx
ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝０
ルート２ｓｉｎ（ｘ＋π／４）＝０
ｓｉｎ（ｘ＋π／４）＝０より、
ｘ＋π／４＝π，２π
よって、ｘ＝３π／４，７π／４，ｙ＝３π／８，７π／８

ではダメでしょうか？

変数が2個あるので解けというのがどういう意味かアレですけど気にしないことにして。