数学の問題です。

平面上の点Oを中心とする半径1の円周上の定点をAとする。この円周上の2つの動点PとQは、同時刻に点Aを出発し、それぞれ一定の速さで、互いに逆向きに周回するものとする。ただし、Qの速さはPの速さの2倍であるとする。出発してから最初にPとQが出会うまでに、△APQの面積が最大となる瞬間の∠AOPをθで表すとき、cosθの値を求めよ。

この問題の考え方がわからないです。
教えてほしいです。おねがいします。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/27 23:33

あ, やっぱり O を使って 3つの三角形にわけるよりも座標からいきなり面積を出した方が楽だ.

O(0, 0), A(xa, ya), B(xb, yb) からなる三角形の面積は
(1/2)|xa yb - xb ya|
だっけ? そこから θ の範囲を考慮して最大値を考えればいいと思う.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/26 22:58

まず O を中心とする角度は

∠AOP = θ, ∠AOQ = 2θ, ∠POQ = 2π - 3θ.

で △APQ の面積 S はその中に O があるかどうかにもよるけど, あるとすれば
S = (1/2) sin θ + (1/2) sin 2θ + (1/2) sin (2π - 3θ)
と書ける (O が三角形の外にあるときにはそれに応じて符号を変える). あるいは, 3点の座標から面積をいきなり求めた方が安全かもしれない.

つまり, 適切な θ の範囲に対してこれらの関数の最大値を考えればいいということになる, はず.

ちなみに A(0,1) に対して「△APQ の面積が最大となるのはP(1,0)、Q(-1,-1)であり」がどこから出てきたのか不明. そもそも角度がおかしいけど.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
丁寧に書いていただけて、ありがたいです。
なるほど、そのように考えるのですね。
参考にさせていただきます。
はい、自分なりに考えてみたつもりでしたが、いま見返してみるとおかしなところばかりですね。
また、しっかりと考えてみますね。

お礼日時：2012/01/27 09:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/26 00:50

△APQの面積を θ の関数で表す.

この回答への補足

補足ではないですが…
中心(0,0)、半径1の円を考え、定点AをA(0,1)とします。
Aを出発し、Pが時計回りに、Qが反時計回りに動くとします。
このとき、△APQ の面積が最大となるのはP(1,0)、Q(-1,-1)であり、その面積は△APQ=1/2×1×2=１。
∠AOP=θ=90゜であるから、cosθ=cos90゜=0 となる。
この解き方はどこを修正する必要があるでしょうか。
ご指摘おねがいします。

補足日時：2012/01/26 18:50

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、考えてみます。
参考にさせていただきます。
あ、△AQPの面積をθの関数であらわす
というのは、どうすればよいのでしょうか。

お礼日時：2012/01/26 17:38