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順列の定義では「いくつかあるものの中から2つ以上取り出して1列に並べたときの並べ方のこと」だそうですが、「取り出す」というのはどういうことなのでしょうか?

異なるn 個のものからr 個とった順列の総数の公式は

nPr=n(n-1)…(n-1+1)

という公式ですが、では単純に、ABCDを左から右に並べ方の総数は何通りあるか、という公式はどのような式になるのでしょうか?また実際の並べ方は樹形図になると思いますが、樹形図の書き方についてもご指導いただけたら幸いです。

(当方、数字は苦手なのでできるだけ優しく教えていただけると助かります)

A 回答 (12件中1~10件)

こんばんは。



少し公式が違う気がします。

えっと、こうなるはずなんだけど?

(i)n>r , n≠1 のとき (rは正の整数 r≠0)

nPr = n! / (n-r)! 

    =n × (n-1) × ・・・・ ×(n-r)

 #こうしておけば、最後の (n-r)に +1 する必要がないんです。

 #最低でもこの差は 1 ですから。

(ii)n=r のとき 

nPr=n! 

この方が早いと思う。


あんまり難しく考えない方がいいと思います。


n個のうち、r個を 並べると思えばいいので

18個(18頭)のうち、3個(3頭) {3連単です} を並べるときは

18!/(18-3)! = 18! / 15! =18×17×16 でOKなのね。

 #三連単が如何に当たらないかが良く分かります^^;


これを一般的にやると、n個のうちr個を並べるとすると、

n×(n-1)×(n-2)×・・・

 r個 の掛け算を大きい順にしてあげればいいです。ヾ(@⌒ー⌒@)ノ


樹形図かな。まぁ、書けばいいけど。ちょっと省略しながら書きますよ。

添付を見てね。

4P4=4!=4×3×2×1 =24とおりです。

頭をAで固定したときしかありません。

あとは、Bが頭に来ているときは、AとBを入れ替えてみてください。

おなじく、Cが頭のときはCとAを、Dが頭のときは DとAとを、入れ替えて考えてください。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)


 
「順列「n個からr個取り出す」の意味」の回答画像1

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。公式が違っていたようで、すみません。

n個からr個取り出すということについての考え方について補足です。
結論から言うと公式のrとは暫定的な数という理解でよいのでしょうか?

わかりやすいサイトをみつけたのですが、

http://p.tl/D2fW

このサイトでは3個取り出すということですが、取り出す数=r個は樹形図にしたときの末端の部分(それ以上の組み合わせができない)ということでしょうか?

私のだした例では、ABSDの4個ですので、末端が2通りということですので、r個が2であれば、公式は

4P2=4(4-2)×(4×2+1)=24通り

となります。

しかしrを3、または4としても

4P3=4(4-1)×(4-3+1)=24通り

4P4=4×3×2×1=24通り

と結果は同じです。

つまりrが並べたい数(n)を超えない数であれば、rがn以下のどのような数にあてはめても結果は同じ、つまりrは暫定的な役割という理解でよろしいでしょうか?

補足日時:2012/02/01 11:05
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>

http://p.tl/D2fW
>このサイトでは3個取り出すということですが、取り出す数=r個は樹形図にしたときの末端の部分(それ以上の組み合わせができない)ということでしょうか?
勘違いされていると思います。取り出す数rは樹形図の段数(上記サイトの1枚目、2枚目、3枚目の3)です。 末端の部分の候補の数はrではなくn-r+1です。
このサイトの例はn=5,r=3 なので n-r+1=3 となって たまたま rと同じ値になっているだけです。
nPr = n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)です。

>4P2=4(4-2)×(4×2+1)=24通り
間違っています。4P2= = 4 x 3 = 12 です。
AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC

>4P3=4(4-1)×(4-3+1)=24通り
合っています。

>4P4=4×3×2×1=24通り
合っています。

よく考えてみてください。nPn-1 と nPn は必ず一致するのです。
nPnの樹形図の末端部分には候補として1通りしかないのです。なので、nPn-1の樹形図の数と同じなのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

nは組み合わせ可能な総数、rは取り出す数、n(n-1)は「一度使ったものはもう使えない」ということの意味ですが、(n-r+1)での1を足すということは、どういう意味があるのでしょうか?

また

4P4=4×3×2×1=24通り

これは、公式にあてはめると

4(4-2)×(4-4+1)=12通り

ではないのでしょうか?

補足日時:2012/02/01 14:14
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>これは、公式にあてはめると


>4(4-2)×(4-4+1)=12通り
どう公式に当てはめたのでしょう?

nP1 = n
nP2 = n(n-1)
nP3 = n(n-1)(n-2)
nP4 = n(n-1)(n-2)(n-3)
...
nPr = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)・・・(n-r+1)
・・・

4P1 = 4
4P2 = 4 x (4-1) = 4 x 3
4P3 = 4 x (4-1) x (4-2) = 4 x 3 x 2
4P4 = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1

要は掛け算する項がr個あるということです。nから始まってr個ですから最後はn-r+1です。

この回答への補足

公式にはすべて「n-r+1」の部分を当てはめてしまってました。

>末端の部分の候補の数はrではなくn-r+1

ということが意識になかったのです。
またn(n-1)については、n×nではなく、nをカッコに掛けるやり方でやってました。(^_^;)

実際の式ではrの数だけ(n-1)が増えるという事ですよね?
しかしn-r+1は理屈上のことであり、実際の計算に含めないということでしょうか?

補足日時:2012/02/02 12:01
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公式 nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) が、順列の定義であって、


「n 個から r 個取り出す場合の数」が、その「意味」です。
ここで「意味」とは、日常的な例による説明のことを指しています。
n 個ある物から 1 個取り出すたび、次の候補が 1 個づつ減ってゆく
訳ですから、n, n-1, n-2, …, n-r+1 の r 個を掛け合わせれば
全ての場合の数が出るのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

1 個取り出す=r
次の候補が減る=マイナス

ということですよね?

しかしn-r+1は理屈上のことであり、実際の計算に含めないという理解でよろしいでしょうか?

補足日時:2012/02/02 12:00
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No.1です。

 aliceさんも書いてくださってるからいらないかも?

No.3さんへの補足ですが、

最後が (n-r+1) になるのは #この +1 が 微妙なんですね。

大きい順に、r個掛け算をしてあげる! というのをやったときに、

最後を(n-r)にしてしまうと、掛け算の数が r+1個になるんですね。

 #最初に書いた (i) のところも良く見てくださいね。

えっと、数えてみます。

nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+1)

これで r個の掛け算ですね。 最初のnの掛け算で 一個rによらないものが出ますので。

もう一つは、n=r になったときに、0になるでしょう?

そうしたら 掛け算すると 0通り になりますからね。

それはおかしいので。


いくつか例を挙げてやってみてください。

r個の掛け算! という感覚が覚えられれば この辺はダイジョウブです。


σ(・・*)のところについた補足に関しては、もうできていますので

そちらにお譲りします。

背伸びはあまりしないほうがいいよ~。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

この回答への補足

再度のご回答ありがとうございます。

少し説明がわかりずらいのですが、

>最後を(n-r)にしてしまうと、

なぜ

>掛け算の数が r+1個になる

のか、もう少し詳しく教えてください。

「最初のnの掛け算で 一個rによらないものが出る」

から(n-r+1)なのですか?

>n=r になったときに、0になるでしょう?

総数=取り出す数 になったとき0になるということですか?

補足日時:2012/02/03 20:01
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>実際の式ではrの数だけ(n-1)が増えるという事ですよね?



ちがいます!ちがいます!
(n-1)をr回かけるのではありません。
n (n-1) (n-2) (n-3) のように1づつ減っていくのです。その項の数がr個あるのです。

この回答への補足

「増える」といったのは、表記的なことでした。

取り出す=減っていく(たとえば (n-3)ならば3個)ということは理解しています。

ここでいう項とは4や (4-1)のことと思いますが、しかし、「項」とは「加法の場合」という条件があるそうですが…

補足日時:2012/02/03 17:17
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No.2,5です。



これはちょっと・・・。まずいかもよ?

まだやってないよね? 

あんまり背伸びはしない方がいいと思うけど。

数(候補)が減っていくというのが理解できていない気がしますよ・・・。

(n-r+1) は 最終的に何を示しているか?

そこまでこれてないような気がします。

実例をいくつか上げて考えてみてくださいね。

それから一般化しましょう。

例題をいくつか。

5P3 ? 「異なる五個の中から、3個取り出して並べる」(以下同じ)

2P1 ?

3P3 ? 

このくらいでいいんじゃないかな?

減っていく感覚と、右の数字は関係ない。

まずそれがつかめないと怖いと思うよ。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

ところで樹形図はいいの?

この回答への補足

>(n-r+1) は 最終的に何を示しているか?

それを知りたいのですが。

例題を挙げられても、テストでないので困ります。なにしろおっしゃるように、まだ理解できていないのですから。

あと「背伸び」という意味も不明です。

補足日時:2012/02/03 20:05
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いつまでもはぐらかしていないで、


質問中の nPr の式の右辺が
何個の数の積になっているか
数えてごらん。
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う~ん、Aliceさん、やはりはぐらかしてますかね・・・。



書いた手前、答えは書きますが。

(n-r+1)が最終的に何を意味しているのか?

が分かっていないから、分かってもらうようにやってもらおうとしているんです。

こちらにもちゃんと意図があるのでね。

それはわかってね~。

5P3 = 5×4×3  答えはどうでもいい。

2P1 = 2

3P3 = 3×2×1 です。

ほかに自分で例を挙げてみればいいけど、

nPr の r は 掛け算の個数ね。 Aliceさんも書いてくださってるでしょう?

 #この方はすごい人だよ。元数学屋でも勝てない!と思う方。

公式にとらわれて、肝心なことが見えていない気がしますよ。


「背伸び」と書いてるのは、まだ習ってないんじゃないかな?と思って。

学校でやったり、塾でやったりが先でもいいし、

予習だったら、しっかり調べる! の方が大事だよ。

そういう意味での背伸びだよ。

無理に分からなきゃ~~ と言う感じがしてましてね。

 #だから公式に縛られるんだろうな、と思って

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

この回答への補足

>意図がある

了解しました。

ということで、

5P3 = 5×4×3  
2P1 = 2
3P3 = 3×2×1



(n-r+1)

との関連について、そろそろ教えてください。

補足日時:2012/02/04 17:23
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はい。

こんばんは。

えっとね、まず No.1で書いているのを訂正させて m(_ _)m

なんか勘違いしたみたい。ゴメン。

nPr = n!/(n-r)! でいいんだ。

これ以上考えたのがいけなかった。すいません。

 ただし n=r のときは、 分母が0になるね。それは避ける。

 nPn=n! としますよ。ってだけだね。


途中で一回書いていますように、r個の掛け算でしかないわけです。

大きい順にね。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%88%97

これが手っ取り早いかもね。困ると、WIKIって言うのも情けないんだけど。


r個の掛け算だから、(n-r)まで掛けてしまうと一個多くなるね。

なんで一つ足すんです。 (n-r+1) ってのはそれだけ。

公式は階乗の式で覚えたほうがいいのかもね。

 #σ(・・*)はそうしているだけです。

 #だから間違うんだけど ヽ(・∀・)ノ ワチョーイ 

さて例を挙げて考えていきましょう。

5P3 = 5×4×3  
2P1 = 2
3P3 = 3×2×1

前に三つあげた例です。 一番下、3P3=3! でしかないね。

上二つについて考えて見ましょう。

5P3 ですから、5から大きい順に3つかける。そう思ってくださいね。

なので、5P3 = 5×4×3  こうなりますね。

いいかな?

で、問題の(n-r+1)なんだけど、この場合はどうなるんだろうか?

n=5、r=3 ですね。

(n-r+1)=(5-3+1)=3 だね。

5P3 = 5×4×3 これ見ると、3は 一番最後にかける数字じゃないかな?

単純に意味と言えばそういうことだと思うよ。


2P1 = 2 なんだから (2-1+1)=2 だね。

これも最後に書ける数字だ。ここまでかけますよの数字になってます。


さてこう考え直します。

n≠r としておきます。

nPr = n!/(n-r)! だって書きました。

数値を入れてみましょうヾ(@⌒ー⌒@)ノ

5P3= (5×4×3×2×1) / 2×1 ね。

 #分母 2! 5-3 の階乗です。
 #おなじく分子 5の階乗。

分数で消える(通分できる)のは、2!ですね。

やはり、5P3=5×4×3 でした。

これはこうかけますね? 

5×4×3=5×(5-1)×(5-2)

    =5×(5-1)×(5-3+1)=5P3

 #特に二行目! r個かけるってことはこうなるんだね。

 #n-r+1 になってますね。確認してね♪

こういうことでしかないよ^^;

えっと、補足で書いてくれていたと思うし、その返答もしていたと思うけど、

r個掛けるために (n-r)までかけると、一つ多いから、

その手前で止めると。 0を含まない自然数だから、+1すれば手前で止まる。

まぁ、強引に理由をつければそういうことでしかないと。


順列で大事なのは、「組み合わせ」かどうかの判断と

r個掛ける!と言うこと。

公式に振り回されないで! 自分が理解できるものを見つければそれでいいです。

へぇ~こうなるんだ~。それでいいから。

分からなくなったら、樹形図を書いてみたらいいよ。

選択肢が狭まるので数が減ると言うのも分かるし、

どこまで掛け算するのかも自然にできますよ。


分からなくなったら自分で手を動かして♪

数学ってそういうものだよ。(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

なんか分からなかったらまた下さい。余裕があれば、書けるときに書きます。

ゴメンね、σ(・・*)も体調が良くないから。
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この回答へのお礼

すべて最初から読み返してみました。テキストで答えるのは大変だと思います。
ですが、なんとなく分かってきたような気がしました。

B-jugglerさんのANo.5でのお答えでいえば

>最後が (n-r+1) になるのは #この +1 が 微妙なんですね。

>最後を(n-r)にしてしまうと、掛け算の数が r+1個になるんですね。

MagicianKumaさんのお答えで言えば

>nPnの樹形図の末端部分には候補として1通りしかないのです。なので、nPn-1の樹形図の数と同じなのです。


などがポイントだと思います。

>最初のnの掛け算で 一個rによらないものが

出るので、その分最後の数はn-r+1(のプラスの意味)がある?要するに最初と最後で相殺される(alice_44さんのいう>n, n-1, n-2, …, n-r+1 の r 個を掛け合わせれば全ての場合の数が出る)という理解ですが…。

ですが、まあこれ以上つきつめて考えるのはやめにします(^_^;)

お付き合いくださり、ありがとうございました。

お礼日時:2012/02/06 15:32

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