順列「n個からr個取り出す」の意味

順列の定義では「いくつかあるものの中から2つ以上取り出して1列に並べたときの並べ方のこと」だそうですが、「取り出す」というのはどういうことなのでしょうか？

異なるn 個のものからr 個とった順列の総数の公式は

nPr=n（n-1）…（n-1+1）

という公式ですが、では単純に、ABCDを左から右に並べ方の総数は何通りあるか、という公式はどのような式になるのでしょうか？また実際の並べ方は樹形図になると思いますが、樹形図の書き方についてもご指導いただけたら幸いです。

（当方、数字は苦手なのでできるだけ優しく教えていただけると助かります）

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/02/01 11:55

>

http://p.tl/D2fW
>このサイトでは3個取り出すということですが、取り出す数＝ｒ個は樹形図にしたときの末端の部分（それ以上の組み合わせができない）ということでしょうか？
勘違いされていると思います。取り出す数ｒは樹形図の段数（上記サイトの1枚目、2枚目、3枚目の3）です。　末端の部分の候補の数はrではなくn-r+1です。
このサイトの例はn=5,r=3　なので　n-r+1=3 となって　たまたま rと同じ値になっているだけです。
nPr = n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)です。

>4P2＝4（4-2）×（4×2+1）＝24通り
間違っています。4P2= = 4 x 3 = 12　です。
AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC

>4P3＝4（4-1）×（4-3+1）＝24通り
合っています。

>4P4＝4×3×2×1＝24通り
合っています。

よく考えてみてください。nPn-1　と nPn　は必ず一致するのです。
ｎPnの樹形図の末端部分には候補として1通りしかないのです。なので、ｎPn-1の樹形図の数と同じなのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

ｎは組み合わせ可能な総数、ｒは取り出す数、n（n-1）は「一度使ったものはもう使えない」ということの意味ですが、(n-r+1)での1を足すということは、どういう意味があるのでしょうか？

また

4P4＝4×3×2×1＝24通り

これは、公式にあてはめると

4（4-2）×（4-4+1）＝12通り

ではないのでしょうか？

補足日時：2012/02/01 14:14

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/02/01 02:51

こんばんは。

少し公式が違う気がします。

えっと、こうなるはずなんだけど？

（ｉ）ｎ＞ｒ　，　ｎ≠１　のとき　（ｒは正の整数　ｒ≠０）

ｎＰｒ　＝　ｎ！　／　（ｎ－ｒ）！　

　　　　＝ｎ　×　（ｎ－１）　×　・・・・　×（ｎ－ｒ）

　＃こうしておけば、最後の　（ｎ－ｒ）に　＋１　する必要がないんです。

　＃最低でもこの差は　１　ですから。

（ｉｉ）ｎ＝ｒ　のとき　

ｎＰｒ＝ｎ！　

この方が早いと思う。


あんまり難しく考えない方がいいと思います。


ｎ個のうち、ｒ個を　並べると思えばいいので

１８個（１８頭）のうち、３個（３頭）　｛３連単です｝　を並べるときは

１８！／（１８－３）！　＝　１８！　／　１５！　＝１８×１７×１６　でＯＫなのね。

　＃三連単が如何に当たらないかが良く分かります＾＾；


これを一般的にやると、ｎ個のうちｒ個を並べるとすると、

ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・

　ｒ個　の掛け算を大きい順にしてあげればいいです。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ


樹形図かな。まぁ、書けばいいけど。ちょっと省略しながら書きますよ。

添付を見てね。

4Ｐ4＝４！＝４×３×２×１　＝２４とおりです。

頭をＡで固定したときしかありません。

あとは、Ｂが頭に来ているときは、ＡとＢを入れ替えてみてください。

おなじく、Ｃが頭のときはＣとＡを、Ｄが頭のときは　ＤとＡとを、入れ替えて考えてください。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)


　

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。公式が違っていたようで、すみません。

n個からr個取り出すということについての考え方について補足です。
結論から言うと公式のｒとは暫定的な数という理解でよいのでしょうか？

わかりやすいサイトをみつけたのですが、

http://p.tl/D2fW

このサイトでは3個取り出すということですが、取り出す数＝ｒ個は樹形図にしたときの末端の部分（それ以上の組み合わせができない）ということでしょうか？

私のだした例では、ABSDの4個ですので、末端が2通りということですので、r個が2であれば、公式は

4P2＝4（4-2）×（4×2+1）＝24通り

となります。

しかしｒを3、または4としても

4P3＝4（4-1）×（4-3+1）＝24通り

4P4＝4×3×2×1＝24通り

と結果は同じです。

つまりｒが並べたい数(ｎ）を超えない数であれば、ｒがｎ以下のどのような数にあてはめても結果は同じ、つまりｒは暫定的な役割という理解でよろしいでしょうか？

補足日時：2012/02/01 11:05